2024年初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)精粹梳理：圓的定理

圓的定理

垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦，且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。如圖，觀察 OD、CA，以及弦 CD、AD 即可得出上述結(jié)論。

推導(dǎo)定理：

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，而且平分弦所對(duì)的兩段弧。弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分這條弦所對(duì)的弧。平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的另一條弧。在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。

切線長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長(zhǎng)相等，這個(gè)點(diǎn)與圓心的連線平分切線的夾角。如圖，觀察 TC、TA 即可得出上述結(jié)論。

切線的性質(zhì)：

切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn) ;切點(diǎn)和圓心的距離等于圓的半徑 ;切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑 ;經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn);經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。

切線的判定方法：

如果直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)直線與圓的位置關(guān)系叫作相切，這條直線叫作圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)。

割線定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等。如圖，假設(shè)過(guò) F 點(diǎn)的另一條割線為 FA′，那么同理有 FC2=FA′·FD′，又因?yàn)?FC2=FA·FD，所以 FA′·FD′=FA·FD，即 F 點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

圓心角定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)弧相等，所對(duì)的弦也相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。如圖，觀察∠ B、∠ P、∠ AOC、 、弦 AC、弦心距 OS，即可得出上述結(jié)論。

推論：

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等。

圓周角定理

同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。如圖，觀察∠ B、∠ P 和∠ AOC 即可得出 ：∠ B= ∠ P=1/2 ∠ AOC。

推論：

同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等;半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所正對(duì)的弦的直徑;圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ);如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

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