借助線三角函數(shù)線，我們可以觀察到第二象限角α的正弦值為正，余弦值為負(fù)，正切值為負(fù)。
1．銳角三角函數(shù)定義
銳角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數(shù)。
正弦(sin)等于對(duì)邊比斜邊;
余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;
正切(tan)等于對(duì)邊比鄰邊;
余切(cot)等于鄰邊比對(duì)邊;
正割(sec)等于斜邊比鄰邊;
余割(csc)等于斜邊比對(duì)邊。
2．互余角的三角函數(shù)關(guān)系
sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα， cot(90°-α)=tanα。
3．同角三角函數(shù)間的關(guān)系
商數(shù)關(guān)系：sinA/cosA=tanA
平方關(guān)系：sin^2(A)+cos^2(A)=1
積的關(guān)系：
sinA=tanA·cosA
cosA=cotA·sinA
cotA=cosA·cscA
tanA·cotA=1
倒數(shù)關(guān)系：
直角三角形ABC中
角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊，
余弦等于角A的鄰邊比斜邊
正切等于對(duì)邊比鄰邊,
余切等于鄰邊比對(duì)邊
4.三角函數(shù)值
(1)特殊角三角函數(shù)值
(2)0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表
(3)銳角三角函數(shù)值的變化情況
(i)銳角三角函數(shù)值都是正值
(ii)當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，
正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)
余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)
正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)
余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)
(iii)當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°間變化時(shí)，
0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0
當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，
tanA>0, cotA>0
對(duì)稱軸與對(duì)稱中心
y=sinx 對(duì)稱軸：x=kπ+π/2(k∈z) 對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈z)
y=cosx 對(duì)稱軸：x=kπ(k∈z) 對(duì)稱中心：(kπ+π/2，0)(k∈z)
y=tanx 對(duì)稱軸：無(wú) 對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈z)
兩角和與差的三角函數(shù)
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化積公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
積化和差公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan2α=2tanα/(1-tan^2)
cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
三倍角公式
sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)
n倍角公式
根據(jù)歐拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
將左邊用二項(xiàng)式定理展開(kāi)分別整理實(shí)部和虛部可以得到下面兩組公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
半角公式
sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)
sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]
csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]
輔助角公式
Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin[α+arctan(B/A)]
Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos[α-arctan(A/B)]
萬(wàn)能公式
sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan²(a/2)]
cos(a)=[1-tan²(a/2)]/[1+tan²(a/2)]
tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan²(a/2)]
降冪公式
sin²α=[1-cos(2α)]/2=versin(2α)/2
cos²α=[1+cos(2α)]/2=vercos(2α)/2
tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
三角和的三角函數(shù)
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
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