2023年初中數(shù)學(xué)代數(shù)知識(shí)點(diǎn)和公式：平均數(shù)

平均數(shù)

1、

①定義：一般的，如果有n個(gè)數(shù)x1x2x3… xn，則：

= (x1+x2+…+xn)÷n

②當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1x2 x3… xn各個(gè)數(shù)值較大時(shí)，可將數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某��?shù)a ，得到：x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn=xn/-a則x拔= x拔/+ a

常數(shù)a通常取接近于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(約略估計(jì))的整數(shù)

③加權(quán)平均數(shù)：如果在n個(gè)數(shù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)fk次，…… xk出現(xiàn)fn次(f1+f2+…+fk=n )則

=(x1f1+ x2f2+ x3f3+… +xkfk)÷n

2、

幾個(gè)概念：

①總體：考察對(duì)象的全體

②個(gè)體：每一個(gè)考察對(duì)象

③樣本：從整體中抽取的一部分個(gè)體叫總體的一個(gè)樣本

④樣本容量：樣本中個(gè)體得數(shù)目

⑤總體平均數(shù)：總體中所有個(gè)體的平均數(shù)

⑥樣本平均數(shù)：樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)

例1：初三全年級(jí)4個(gè)班數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)平均成績(jī)分別是 x拔1x拔2x拔3x拔4則全年級(jí)平均成績(jī)是( x拔1+ x拔2+ x拔3+ x拔4)÷4 這種算法不一定正確

⑴當(dāng)各班人數(shù)相同時(shí)算式成立

⑵當(dāng)各班人數(shù)不同時(shí)算式不成立

例2：已知兩組數(shù)x1x2x3… xn和y1y2y3…yn的平均數(shù)分別x拔和 y拔，求：

⑴一組新數(shù)據(jù)8x1 +8x2 +8x3 +… + 8xn的平均數(shù)(8 x拔)

⑵一組新數(shù)據(jù)x1+ y1x2+ y2x3+ y3… xn+ yn的平均數(shù)

(答案：x拔+ y拔)

例3：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)能大于其中每個(gè)數(shù)據(jù)嗎?能大于除其中一個(gè)數(shù)據(jù)以外的所有數(shù)據(jù)嗎?(答案：不能;能，如6、2、2、2的平均數(shù)是3)

例4：某校錄取新生的平均成績(jī)是535分，如果某同學(xué)成績(jī)是539分，他肯定能被這所學(xué)校入取嗎?為什么?(不一定)

例5：為了解某地區(qū)初三年級(jí)男學(xué)生的體高，從初三學(xué)生中抽測(cè)500名男生的體高，在這個(gè)問(wèn)題中，下面說(shuō)法正確的有()個(gè)?

⑴總體是指該地區(qū)初三年級(jí)男生的全體

⑵個(gè)體是指該地區(qū)的每一位初三年級(jí)的男生

⑶樣本容量是500名

⑷樣本是指500名學(xué)生的體高

分析：因?yàn)楸绢}考察對(duì)象是初三學(xué)生的體高，而不是學(xué)生，故⑴⑵都錯(cuò)，又因?yàn)闃颖救萘渴且粋�(gè)數(shù)，不帶單位，故⑶錯(cuò)

例6：某襯衫店為了準(zhǔn)確進(jìn)貨，對(duì)一周內(nèi)商店各種尺碼的男襯衫的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：38碼的20件，39碼的23件，40碼的26件，41碼的25件、42碼的21件、43碼的18件。則該組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是，中位數(shù)是

(答案：眾數(shù)是40碼;第67件居中間，所以中位數(shù)是40碼。注意：不要答成眾數(shù)是26，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是出現(xiàn)最多的次數(shù))

例7、養(yǎng)魚(yú)專業(yè)戶為了估測(cè)魚(yú)的重量，撈出10條魚(yú)稱的其重量如下：480g 1條、490g 2條、500g 3條、520g 4條，求樣本平均數(shù)(答案：504g)

例8、為了估測(cè)湖里有多少魚(yú)，先捕上100條做上標(biāo)記，然后放回湖里，過(guò)一段時(shí)間，等待標(biāo)記的魚(yú)完全和魚(yú)群匯合后，再捕上200條，發(fā)現(xiàn)其中帶標(biāo)記的魚(yú)有20條，湖里大約有多少條魚(yú)?(答案：x：100 = 200：20;1000條)

例9、當(dāng)5個(gè)非負(fù)整數(shù)從小到大排列，其中位數(shù)是4，如果這組數(shù)據(jù)的唯一眾數(shù)是6 ，則這五個(gè)整數(shù)可能的最大和是多少?最小和是多少?(答案：21 ;17)

3、

概念：

⑴眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

理解：注意出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)和出現(xiàn)次數(shù)最多次數(shù)兩種說(shuō)法的不同

⑵中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

⑶對(duì)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的理解：

①眾數(shù)說(shuō)明了該數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多;中位數(shù)說(shuō)明了該組數(shù)據(jù)以中位數(shù)為點(diǎn)將數(shù)據(jù)劃分為數(shù)據(jù)各占一半的兩部分。平均數(shù)反應(yīng)了改組數(shù)據(jù)的平均值。

4、

中位數(shù)的找法：

給我們一組數(shù)組，將該數(shù)組由小到大排列，設(shè)數(shù)組的個(gè)數(shù)為n，

1、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n÷2得一小數(shù)，用進(jìn)一法取整數(shù)f，則，第f個(gè)數(shù)就是該數(shù)組的中位數(shù)。

2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n÷2得一整數(shù)m，第m和m+1個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是該數(shù)組的中位數(shù)。

3、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的平均趨勢(shì)，其中，又以平均數(shù)應(yīng)用最為廣泛

例1、判斷題：

⑴只要一組數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)字變動(dòng)，那么平均數(shù)就一定會(huì)跟著變動(dòng)(答案：對(duì))

⑵平均數(shù)一定有現(xiàn)實(shí)意義(答案：錯(cuò))

⑶在一組數(shù)據(jù)中加入它的平均數(shù)，則新數(shù)據(jù)組中平均數(shù)不變

(答案：對(duì))

例2、草地上有甲乙兩群人正在做游戲，甲群人的年齡分別是：12、12、12、13、14、15、16、16、27;乙群人的年齡分別是：3、4、4、5、5、6、6、6、55、60

⑴求出兩群人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

⑵甲乙兩群人年齡的平均數(shù)能代表他們各自年齡的特征嗎?若不能代表，那么哪個(gè)數(shù)據(jù)能代表?

⑶說(shuō)明：一般地，在一組數(shù)據(jù)中數(shù)值特別大(或特別小)的數(shù)據(jù)看作異常數(shù)，在有異常數(shù)的數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)可能相差很大，此時(shí)用中位數(shù)來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適

例3、劉曉和尹凱是學(xué)習(xí)上的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，階段考試成績(jī)先出了語(yǔ)、數(shù)、外三門，劉曉的平均分較尹凱高出2分，物理分出來(lái)時(shí)，尹凱的平均分反超過(guò)劉曉1分了，化學(xué)成績(jī)?nèi)晕闯鰜?lái)

⑴在物理考試中，劉曉比尹凱低多少分?

⑵為保證自己的總平均分仍比尹凱多1分，劉曉的化學(xué)要比尹凱多多少分?

分析：⑴三門中劉曉高出6分，四門中劉凱高出4分，所以劉曉的物理比尹凱低10分;四門中劉曉比尹凱低4分，為保證劉曉比尹凱總平均分仍高1分，即總分多5分，所以劉曉的化學(xué)要比尹凱多9分

5、

方差：

⑴引入方差的目的：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的一般水平外，還常常需要了解它們的波動(dòng)大小(即偏離平均數(shù)的大小)

⑵概念：設(shè)在一組數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是(x1- x拔)2、(x2- x拔)2、…、(xn- x拔)2。那么，我們用它們的平均數(shù)來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)的大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差

即：S2=[(x1-x拔)2+ (x2-x拔)2+ … + (xn- x拔)2]/n

⑶意義：一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大

⑷計(jì)算方差的兩個(gè)變形公式

⑴ S2=[(x12+ x22+ … + xn2) - n x拔2]/n

⑵若x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn/=xn-a( 其中, x1、x2、…、xn是原已知的n個(gè)數(shù),a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個(gè)常數(shù))則

S2=[(x1/2+ x2/2+ … + xn/2) - n x拔/2]/n

6、

標(biāo)準(zhǔn)差:

⑴概念:方差的算術(shù)平方根叫這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差

⑵意義: 標(biāo)準(zhǔn)差也是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,反之亦然。

7、

方差、標(biāo)準(zhǔn)差綜合概括：

一般地，若一組數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的平均數(shù)為x拔，方差為S2，標(biāo)準(zhǔn)差為S ，則：

⑴數(shù)組：x1+ax2+a … xn+a的平均數(shù)為 x拔+a ，方差和標(biāo)準(zhǔn)差不變

⑵數(shù)組：kx1kx2… kxn的平均數(shù)為 kx拔，方差變?yōu)閗2S2，標(biāo)準(zhǔn)差為kS

⑶數(shù)組：k x1+akx2+ a …kxn+a的平均數(shù)為kx拔+a，方差為k2S2，標(biāo)準(zhǔn)差為Ks

例1：對(duì)一組數(shù)：-2、-1、x、1、2，若x為不大于10的非負(fù)數(shù)，方差為整數(shù)，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差

答案：根據(jù)S2=[(x12+x22+ …+xn2)-n2]/n 、 =x/5 、x=0或x=5 ∴S2=(10+4x2/5)/5 …

例2:已知S2=[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x30-5)2]/30 ，則各數(shù)據(jù)的平方和不可能等于①900 ②850 ③750 ④650

答案：∵S2=[(x12+x22+…+xn2)-n x拔2]/n

∴(x12+x22+…+xn2)-n x拔2≥0 故選④

8、

頻率分布

⑴組距：指每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離

分組數(shù)=(最大值-最小值)/組距

⑵頻數(shù)：把數(shù)據(jù)總數(shù)分成若干小組，落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫頻數(shù)

⑶頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫這一小組的頻率

9、

畫頻率分布直方圖

⑴橫半軸：各組組距

縱半軸：頻率與組距的比。即 頻率/組距

⑵小長(zhǎng)方形的高=頻率/組距=頻數(shù)/(數(shù)據(jù)總數(shù)×組距)

∵(1/數(shù)據(jù)總數(shù)×組距)為常數(shù)

∴小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比

⑶在頻率分布直方圖中,由于各小長(zhǎng)方形的面積等于響應(yīng)各組的頻率、而各組頻率的和等于1,因此, 各小長(zhǎng)方形面積的和等于1

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