1三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)
1.1三角形的內(nèi)角和
在同一平面內(nèi),由一些不在同一條直線上的線段首位順次相接所圍成的封閉圖形叫做多邊形.組成多變形的那些線段叫做多邊形的邊.相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).多變形相鄰兩邊所夾的角叫做多邊形的內(nèi)角,簡(jiǎn)稱多邊形的角.多變形的角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.
三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180
在原來圖形上添畫的線叫做輔助線
依據(jù)三角形內(nèi)角的特征,對(duì)三角形進(jìn)行分類：三個(gè)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形;有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形;有一個(gè)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形;銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形.
在直角三角形中,夾直角的兩邊叫做直角邊,直角的對(duì)邊叫做斜邊.
推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余
推論2三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和
1.2三角形的有關(guān)線段
三角形一個(gè)角的平分線和對(duì)邊相交,角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線
連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向其對(duì)邊或?qū)叺难娱L(zhǎng)線畫垂線,頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高
2全等三角形
2.1全等三角形的證明
邊邊邊有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
邊角邊有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
角邊角有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
定理有兩角及其其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
2.2直角三角形全等的判定
定理斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
3等腰三角形
3.1等腰三角形及其性質(zhì)
三角形的三邊,有的三邊互不相等,有的有兩邊相等,有的三邊都相等.三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形,有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.在等腰三角形中,相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角
定理等腰三角形的底角相等
推論等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形
定理一個(gè)三角形是等腰三角形的充要條件是這個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角相等
等邊三角形定理1等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60
等邊三角形定理2三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
等邊三角形定理3有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形
3.2線段的垂直平分線與角平分線
定理線段的垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),都在這條線段的垂直平分線上
線段的垂直平分線可以看成是所有和線段兩段距離相等的點(diǎn)的集合
定理點(diǎn)在角平分線上的充要條件是這一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等
角的平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合
3.3軸對(duì)稱
定義如果點(diǎn)A,B在直線l的兩側(cè),且l是線段AB的垂直平分線,則稱點(diǎn)A,B關(guān)于直線l互相對(duì)稱,點(diǎn)A,B互稱為關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),直線l叫做對(duì)稱軸
定義在平面上,如果圖形F的所有點(diǎn)關(guān)于平面上的直線l成軸對(duì)稱,直線l叫做對(duì)稱軸
定義在平面上,如果存在一條直線l,圖形F的所有點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)組成的圖形,仍是圖形F自身,則稱圖形F為軸對(duì)稱圖形,直線l是它的一條對(duì)稱軸
定理(1)對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)與一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離相等(2)對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分
推論兩個(gè)圖形如果關(guān)于某直線稱軸對(duì)稱,那么這兩個(gè)圖形是全等形
3.4三角形中的不等關(guān)系
定理三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角
定理三角形任何兩邊的和大于第三邊
推論三角形任何兩邊的差小于第三邊
定理在一個(gè)三角形中,如果兩邊不等,那么它們所對(duì)的角也不等,大邊所對(duì)的角較大
定理在一個(gè)三角形中,如果兩個(gè)角不等,那么它們所對(duì)的邊也不等,大角所對(duì)的邊較大
在一個(gè)三角形中,一條邊大于另一條邊的充要條件是,這條邊所對(duì)的角大于另一條邊所對(duì)的角
4直角三角形
4.1勾股定理逆定理
勾股定理逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足條件a+b=c,那么c所對(duì)的角是直角
4.2含30角的直角三角形的性質(zhì)
定理在直角三角形中,如果一個(gè)瑞角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半
4.3直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)
定理在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半
5基本作圖
5.1基本作圖
5.1作三角形
5.3軌跡與反證法
我們把物體按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)的路線叫做物體運(yùn)動(dòng)的軌跡
我們就把一個(gè)點(diǎn)在空間按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)的路線,叫做這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡,這個(gè)點(diǎn)就叫做動(dòng)點(diǎn)
定義具有性質(zhì)a的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合,叫做具有性質(zhì)a的點(diǎn)的軌跡
軌跡具有純粹性和完備性
基本軌跡1與兩個(gè)已知點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是連結(jié)這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線
基本軌跡2與已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線
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