2023年初中數(shù)學一元一次方程 七大行程問題

一、基本原理、方法和步驟

1.1、基本公式或原理

路程 = 速度×時間

速度 = 路程÷時間

時間 = 路程÷速度

看，其實追及相遇問題就是翻來覆去用這個公式。

1.2、用一元一次方程解決實際問題的方法和步驟為：

①找出等量關(guān)系式 ②設(shè)未知數(shù) ③列方程 ④解方程 ⑤檢驗。這五步，可以簡化為五個字：“找、設(shè)、列、解、檢”來記憶。

1.3、找等量關(guān)系

用一元一次方程解決實際問題，最關(guān)鍵也是最要的，就是第一步“找等量關(guān)系”，那么對于追及和相遇問題，我們可以發(fā)現(xiàn)通常有以下等量關(guān)系：

1)相遇問題即相向而行，等量關(guān)系：雙方所走路程之和=全部路程;

2)追及問題即同向而行，等量關(guān)系：雙方行程的差=原來的路程(開始時雙方相距的路程) = 追趕者走的路程 - 被追趕者走的路程.

3)航行問題(飛行問題)

船的航行問題，等量關(guān)系：

①船在靜水中速度+水速=船的順水速度;②船在靜水中速度-水速=船的逆水速度。

飛機的飛行問題，等量關(guān)系：

①飛機的飛行速度+風速=飛機順風時的速度;②飛機的飛行速度-風速=飛機逆風時的速度;

4)環(huán)形跑道問題：①甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時同地同向出發(fā)，等量關(guān)系：快的 - 慢的 = 多跑一圈或幾圈的路程。②甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時同地反向出發(fā)，等量關(guān)系：雙方所跑路程之和 = 環(huán)形跑道一圈的長度。

5)往返問題，等量關(guān)系：去時路程 = 回時路程

6)回聲問題，等量關(guān)系：聲音速度×時間 = 聲音從發(fā)出地至碰到障礙物再返回聲音接收地路程之和。

7)接力問題，等量關(guān)系：甲路程+乙路程 = 全部路程 或者 甲完成量+乙完成量 = 全部完成量

二、例題詳解

2.1、相遇問題

例1、甲、乙兩人分別從A，B兩地同時出發(fā)，沿同一條路線相向勻速行駛，已知出發(fā)后3 h兩人相遇，相遇時乙比甲多行駛了60 km，相遇后再經(jīng)1 h乙到達A地.

(1)甲、乙兩人的速度分別是多少?

(2)兩人從A，B兩地同時出發(fā)后，經(jīng)過多長時間兩人相距20 km?

解：(1)解法一：設(shè)甲的速度為xkm/h，易得乙的速度為(x+20)km/h.

根據(jù)題意，得3x+3(x+20)=4(x+20)，

解得x=10.

則x+20=30.

答：甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h.

解法二：設(shè)相遇時乙行了3ykm，那么甲行了ykm

根據(jù)題意：3y-y = 2y =60

解得y=30km

所以甲的速度為30÷3=10km/h，乙的速度為30 km/h.

(2)設(shè)經(jīng)過th兩人相距20 km.

①相遇前相距20 km時，可得方程10t+30t+20=4×30，

解得t=2.5;

②相遇后相距20 km時，可得方程10t+30t=4×30+20，

解得t=3.5.

答：經(jīng)過2.5 h或3.5 h兩人相距20 km.

2.2、追及問題

例2、甲、乙兩站間的路程為360千米，一列慢車從甲站開出，每小時行駛48千米，一列快車從乙站開出，每小時行駛88千米.兩列火車同時開出，同向而行，慢車在前，快車在后，問經(jīng)過幾小時快車追上慢車?

解：設(shè)經(jīng)過x小時，快車追上慢車.(88-48)·x=360，x=9.所以經(jīng)過9小時快車追上慢車

2.3、航行問題

例3、一艘船航行于A，B兩碼頭之間，順水航行需3小時，逆水航行需5小時，已知水流速度是4千米/時，求這兩個碼頭之間的距離.

解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，3(x+4)=5(x-4)，x=16.則3×(16+4)=60(千米).所以這兩個碼頭之間的距離為60千米.

2.4、環(huán)形跑道問題

例4、甲、乙二人在300m長的環(huán)形跑道上練習長跑，甲的速度是6m/s，乙的速度是7m/s.

(1)如果甲、乙二人同地背向跑，乙先跑2s，然后甲再跑，那么甲跑多少秒后甲、乙二人第一次相遇?

(2)如果甲、乙二人同時同地同向跑，乙跑幾圈后能首次追上甲?

解：(1)設(shè)甲跑xs后甲、乙二人第一次相遇，依題意，得7×2+7x+6x=300，解得x=22，所以甲跑22s后甲、乙二人第一次相遇.

(2)設(shè)經(jīng)過ys后，乙能首次追上甲，依題意，得7y-6y=300，解得y=300.因為乙跑一圈需300/7s，所以乙跑了300÷(300/7)=7(圈).故乙跑7圈后能首次追上甲.

例5、甲、乙兩人在操場上練習競走，已知操場一周為300m，甲每分鐘走100m，乙每分鐘走60m，現(xiàn)在兩人同時同地同向出發(fā)xmin后第一次相遇，則下列方程中錯誤的是( )

A. (100-60)x=300 B. 100x=300+60x

C. x/3-x/5=1 D. 100x+300=60x

答案：D

2.5、往返問題

例6、春節(jié)假期，小陳駕車從珠海出發(fā)到香港，去時在港珠澳大橋上用了40分鐘，返回時平均速度提高了25千米/小時，在港珠澳大橋上的用時比去時少了10分鐘，求小陳去時的平均速度，設(shè)他去時駕車的平均速度為x千米/小時，則可列方程為

解：設(shè)他去時駕車的平均速度為x千米/小時，則返回時駕車的平均速度為(x+25)千米/小時，

依題意，得：(2/3)x=(x+25)/2.

故答案為：(2/3)x=(x+25)/2.

2.6、回聲問題

例7、一輛貨運小汽車以15米/秒的速度向?qū)γ嫔焦刃旭偅�司機鳴一下喇叭，4秒后聽到回響，這時汽車離山谷( )米(已知空氣中聲音的傳播速度約為340米/秒)

解：設(shè)此時汽車離山谷x米，

聲音從發(fā)出地至碰到障礙物再返回聲音接收地路程之和= 2x + 4×15

聲音速度×時間 = 340×4

根據(jù)等量關(guān)系有：2x + 4×15 = 340×4

解得x= 650米

2.7、接力問題

例8、某地為了打造風光帶，將一段長為360 m的河道整治任務交給甲、乙兩個工程隊接力完成，共用時20天.已知甲工程隊每天整治24 m，乙工程隊每天整治16 m，求甲、乙兩個工程隊分別整治了多長的河道.

解：設(shè)甲工程隊整治了x天，則乙工程隊整治了(20-x)天.

由題意，得24x+16(20-x)=360，

解得x=5.

所以乙工程隊整治了20-5=15(天).

甲工程隊整治的河道長為24×5=120 (m)，

乙工程隊整治的河道長為16×15=240 (m).

答：甲、乙兩個工程隊分別整治了120 m，240 m的河道.

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