2023年初中數(shù)學(xué)利用軸對(duì)稱求距離之和最短距離

　　已知：如下圖，A、B兩點(diǎn)是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)

 

　　問(wèn)題：在直線l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最�。�

 

　　分析：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A’，連結(jié)A’B，交直線于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB=A’B最�。�證明過(guò)程很簡(jiǎn)單，在直線上再任取一點(diǎn)P’，P’A=P’A’，P’A+P’B=P’A’+P’B＞A’B，所以點(diǎn)P是所求．

 

　　模型應(yīng)用：

 

　　（1）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)．則PE+PB的最小值是           ．

 

　�。�2）如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一點(diǎn)，則PA+PC的最小值是            ．

 

　�。�3）如圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B（0,4），點(diǎn)C、D分別是OA、AB的中點(diǎn)，P是OB上一點(diǎn)，求△PCD周長(zhǎng)的最小值．

 

　　以上幾題是模型1在不同題型中的運(yùn)用，同學(xué)們?nèi)绻�能練�?ldquo;火眼金睛”，善于在變化的條件中找到不變的數(shù)學(xué)模型，“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，就可以像孫悟空一樣成為考場(chǎng)上的“斗戰(zhàn)勝佛”．如果把模型1中的條件稍作調(diào)整，又可以得到它的一些推廣模型．

 

　　答案：

 

　　推廣1：

 

　　已知：如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)．

 

　　問(wèn)題：分別在OA、OB邊上找點(diǎn)M、N，使△PMN的周長(zhǎng)最�。�

 

　　分析：△PMN的周長(zhǎng)=PM+MN+NP，可以利用作軸對(duì)稱，把這三條線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段．如圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P’、P’’，連結(jié)P’P’’，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連結(jié)PM、PN，此時(shí)PM=P’M，PN=P’N，△PMN的周長(zhǎng)=PM+MN+NP=P’P’’，此時(shí)周長(zhǎng)最�。�

 

　　模型應(yīng)用：如圖，點(diǎn)C（1,0），直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，D、E分別是AB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，則△CDE周長(zhǎng)的最小值是       

          ．

 

　　答案：10

 

　　推廣2：

 

　　已知：點(diǎn)P、Q是∠AOB內(nèi)部?jī)啥�點(diǎn)．

 

　　問(wèn)題：分別在直線OA、OB上找點(diǎn)M、N，使四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小．

 

　　分析：因?yàn)镻Q的長(zhǎng)度是定值，要使四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小，就是要使PM+MN+NQ的值最�。�作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P’，作點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q’，連結(jié)P’Q’，分別交直線OA、OB于點(diǎn)M、N，連結(jié)PM、MN、NQ，因?yàn)镻M=P’M，QN=Q’N，所以四邊形PMNQ的周長(zhǎng)=PM+MN+NQ+QP=P’Q’+PQ，因?yàn)镻Q是定值，而PM+MN+NQ的最小值為P’Q’的長(zhǎng)度，所以此時(shí)四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最�。�

 

　　模型應(yīng)用：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-8,3），點(diǎn)B（-4,5），點(diǎn)C（0，n），點(diǎn)D（m，0），當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最短時(shí)，求m：n的值．

 

 

　　答案：

 

       

 

　　在變化萬(wàn)千的已知條件下，能夠找到不變的規(guī)律，這與《易經(jīng)》中闡述的“變與不變”的智慧相吻合．人類最高的智慧，就是“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無(wú)敵法寶．

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