2023年初中數(shù)學(xué)：代數(shù)式及完全平方公式考點解析

考點：寫代數(shù)式

代數(shù)式定義：由數(shù)和表示數(shù)的字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數(shù)運算所得的式子，或含有字母的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為代數(shù)式。

例如：ax+2b，-2/3，b^2/26，√a+√2等。

注意

： 1、不包括等于號(=、≡)、不等號(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、約等號≈

2、可以有絕對值。

例如：|x|，|-2.25| 等

用運算符導(dǎo)(指加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。數(shù)的一切運算規(guī)律也適用于代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)

式，帶有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符號的不是代數(shù)式。

分類：在實數(shù)范圍內(nèi),代數(shù)式分為有理式和無理式。

1）.有理式

有理式包括整式(除數(shù)中沒有字母的有理式)和分式(除數(shù)中有字母且除數(shù)不為0的有理式)。這種代數(shù)式中對于字母只進(jìn)行有限次加、減、乘、除和整數(shù)次乘方這些運算。

整式有包括單項式(數(shù)字或字母的乘積或單獨的一個數(shù)字或字母)和多項式(若干個單項式的和)

1.單項式

沒有加減運算的整式叫做單項式。

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式(或字母因數(shù))的數(shù)字系數(shù)，簡稱系數(shù)

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)

2.多項式

幾個單項式的代數(shù)和叫做多項式;多項式中每個單項式叫做多項式的項。不含字母的項叫做常數(shù)項。

多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。

齊次多項式：各項次數(shù)相同的多項式叫做齊次多項式。不可約多項式：次數(shù)大于零的有理系數(shù)的多項式，不能分解為兩個次數(shù)大于零的有理數(shù)系數(shù)多項式的乘積時，稱為有理數(shù)范圍內(nèi)不可約多項式。

實數(shù)范圍內(nèi)不可約多項式是一次或某些二次多項式，復(fù)數(shù)范同內(nèi)不可約多項式是一次多項式。對稱多項式：在多元多項式中，如果任意兩個元互相交換所得的結(jié)果都和原式相同，則稱此多項式是關(guān)于這些元的對稱多項式。同類項：多項式中含有相同的字母，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。

2）.無理式

含有 字母的根式 或 字母的非整數(shù)次乘方的代數(shù)式叫做無理式。

書寫格式：

(1)兩字母相乘、數(shù)字與字母相乘、字母與括號相乘以及括號與括號相乘時，乘號都可以省略不寫.如：“x與y的積”可以寫成“xy”;“a與2的積”應(yīng)寫成“2a”，“m、n的和的2倍”應(yīng)寫成“2(m+n)”。

(2)字母與數(shù)字相乘或數(shù)字與括號相乘時，乘號可省略不寫，但數(shù)字必須寫在前面.例如“x×2”要寫成”2x”，不能寫成“x2”;“長、寬分別為a、b的長方形的周長”要寫成“2(a+b)”，不能寫成“(a+b)2”。

(3)代數(shù)式中不能出現(xiàn)除號，相除關(guān)系要寫成分?jǐn)?shù)的形式

(4)數(shù)字與數(shù)字相乘時，乘號(也可以寫作 · )仍應(yīng)保留不能省略，或直接計算出結(jié)果.例如“3×7xy”不能寫成“37xy”，最好寫成“21xy”。

練習(xí)&解析

現(xiàn)有大小兩艘輪船，小船每天運 x噸貨物，大船比小船每天多運10噸貨物.現(xiàn)在讓大船完成運送100噸貨物的任務(wù)，小船完成運送80噸貨物的任務(wù)。

(1)分別寫出大船、小船完成任務(wù)用的時間?

(2)試說明哪艘輪船完成任務(wù)用的時間少?

解：(1)大船完成任務(wù)的時間為：

;

小船完成任務(wù)的時間為：

;

(2)

﹣

=

=

，

x>40時，小船所用時間少;

x=40時，兩船所用時間相同;x<40時，大船所用時間少.

考點：完全平方公式

完全平方公式是進(jìn)行代數(shù)運算與變形的重要知識基礎(chǔ)。該知識點重點是對完全平方公式的熟記及應(yīng)用，難點是對公式特征的理解 (如對公式中積的一次項系數(shù)的理解)。

兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，叫做完全平方公式。為了區(qū)別，我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式，后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式。

理解公式左右邊特征

(一)學(xué)會推導(dǎo)公式(這兩個公式是根據(jù)乘方的意義與多項式的乘法法則得到的)，真實體會隨意“創(chuàng)造”的不正確性;

(二)學(xué)會用文字概述公式的含義：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.

都叫做完全平方公式.為了區(qū)別，我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式，后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式.

(三)這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征是：

1、

左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的2倍;

2、

左邊兩項符號相同時，右邊各項全用“+”號連接;左邊兩項符號相反時，右邊平方項用“+”號連接后再“-”兩項乘積的2倍(注：這里說項時未包括其符號在內(nèi));

3、

公式中的字母可以表示具體的數(shù)(正數(shù)或負(fù)數(shù))，也可以表示單項式或多項式等數(shù)學(xué)式.

(四)兩個公式的統(tǒng)一：因為

所以兩個公式實際上可以看成一個公式：兩數(shù)和的完全平方公式。這樣可以既可以防止公式的混淆又杜絕了運算符號的出錯。

練習(xí)&解析

完全平方公式的基本變形：

(一)變符號

例：運用完全平方公式計算：

(1)(-4x+3y)²

(2)(-a-b)²

分析：本例改變了公式中a、b的符號，以第二小題為例，處理該問題最簡單的方法是將這個式子解答：

(1)16x²-24xy+9y²

(2)a²+2ab+b²

(二)變項數(shù)：

例：計算：(3a+2b+c)²

分析：完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現(xiàn)了三項，故應(yīng)考慮將其中兩項結(jié)合運用整體思想看成一項，從而化解矛盾。所以在運用公式時，(3a+2b+c)²可先變形為[(3a+2b)+c]²，直接套用公式計算。

解答：9a²+12ab+6ac+4b²+4bc+c²

(三)變結(jié)構(gòu)：

例：運用公式計算：

(1)(x+y)(2x+2y)

(2)(a+b)(-a-b)

(3)(a-b)(b-a)

分析:本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結(jié)構(gòu)不符合公式特征，但仔細(xì)觀察易發(fā)現(xiàn)，只要將其中一個因式作適當(dāng)變形就可以了，即

(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)²

(2) (a+b)(-a-b)=-(a+b)²

(3) (a-b)(b-a)=-(a-b)

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