一、 基本內(nèi)容
在初中數(shù)學(xué)階段，函數(shù)主要指：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，而我們對(duì)于函數(shù)的考察主要集中在對(duì)函數(shù)圖像與在實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)。本文目的就是在于交流，教師應(yīng)該講授這些知識(shí)，換句話說(shuō)，就是我們?cè)趥魇谶@些知識(shí)時(shí)
，應(yīng)該對(duì)它進(jìn)行怎么樣的加工。
總的來(lái)說(shuō)，就是把圖像問(wèn)題與系數(shù)聯(lián)系起來(lái)，并且通過(guò)動(dòng)態(tài)的觀察，讓學(xué)生明白不同系數(shù)在不同函數(shù)中的幾何意義;形成通過(guò)系數(shù)來(lái)研究圖像的思維方式。
二、 幾點(diǎn)原則
在教學(xué)中，我個(gè)人通過(guò)對(duì)不同的學(xué)生的一對(duì)一輔導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)了在教學(xué)過(guò)程不少需要注意的誤區(qū)：
1.避免死記硬背。數(shù)學(xué)里死記硬背還是很奇怪的一件事，不過(guò)我們來(lái)看下浙教版的教科書(shū)：
浙教版八年級(jí)上·一次函數(shù)的圖像
圖中的黑體字是本書(shū)中，第一次直接寫出有關(guān)于k與圖像的關(guān)系有關(guān)的結(jié)論。因此，很多學(xué)生在提到這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，都會(huì)完整的背一遍這句話，誠(chéng)然這種做法短期內(nèi)沒(méi)有太大危害，甚至可以說(shuō)通過(guò)大量的題型訓(xùn)練遲早會(huì)掌握，但是這顯然沒(méi)有讓學(xué)生產(chǎn)生比較好的理解，對(duì)于之后的學(xué)習(xí)并沒(méi)有好處。而很多學(xué)校的學(xué)生教科書(shū)上，我甚至看到了老師讓學(xué)生背的好幾句話，例如：“k>0，b>0，過(guò)一、二、三象限”，這樣的句子。有意思的是，老師忘記寫b=0的情況，不少學(xué)生只要你一問(wèn)他b=0圖像過(guò)哪幾個(gè)象限，會(huì)立刻發(fā)懵，稍微想一想才反映過(guò)來(lái)，那就是正比例函數(shù)了，但是這樣的學(xué)生會(huì)在正比例函數(shù)是不是一次函數(shù)的問(wèn)題上，再度發(fā)懵。
2. 講解時(shí)多用中文術(shù)語(yǔ)。這是個(gè)小細(xì)節(jié)，不注意的話對(duì)于大部分學(xué)生其實(shí)沒(méi)有影響。但是如果題目中出現(xiàn)了：y=bx+k，有一部分學(xué)生會(huì)發(fā)昏的。推薦用：斜率、截距這兩個(gè)詞。不用深刻的理解，斜率讓學(xué)生暫時(shí)理解成，一次函數(shù)一般式中x的系數(shù);截距指的是一般式中的常數(shù)項(xiàng)。其實(shí)這兩個(gè)名詞很巧妙，斜率這一個(gè)詞基本解釋了k的幾何意義，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)也有好處。
3.盡量用動(dòng)態(tài)演示。不需要做一個(gè)很專業(yè)的動(dòng)畫(huà)軟件，其實(shí)用幾何畫(huà)板就可以動(dòng)態(tài)演示，操作也很簡(jiǎn)單。動(dòng)態(tài)的演示不僅僅是有利于學(xué)生的記憶，它可以讓知識(shí)形象化。“傾斜程度大圖像，k的絕對(duì)值也越大”，這句話基本不會(huì)默寫，但是從自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)與語(yǔ)言，再轉(zhuǎn)化成圖像還是很麻煩的。我在課上通過(guò)拖動(dòng)k值演示一下，學(xué)生的語(yǔ)言很不規(guī)范，但是基本可以說(shuō)出k如果變大會(huì)怎么“轉(zhuǎn)”，變小怎么“轉(zhuǎn)”。在學(xué)生腦海中出現(xiàn)的是一副動(dòng)態(tài)圖，語(yǔ)言反過(guò)來(lái)只是表達(dá)。如果對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，你甚至可以問(wèn)一句，繞著誰(shuí)轉(zhuǎn)呢[(0,b)]。
接下來(lái)我以一次函數(shù)為例說(shuō)一說(shuō)，這一堂課，在上述原則下我們應(yīng)該怎么講，講什么。
三、 以一次函數(shù)為例
(一)教科書(shū)中的暗示
接著上面的例子，單調(diào)性真的是本書(shū)第一次提及函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系嗎?答案是否定的，在前一部分的練習(xí)中，有這么一道題：
仔細(xì)觀察一下，會(huì)發(fā)現(xiàn)這道題的數(shù)字出的很有特點(diǎn)顯然是要讓學(xué)生找規(guī)律了，而問(wèn)題是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，那么我們不妨先把斜率放下，相比于與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)在這題是很直觀的。為什么后兩幅圖像與y軸交點(diǎn)是一樣的?他們什么是一樣的，什么不一樣?與y軸的交點(diǎn)可能與什么有關(guān)?
這里就首先出現(xiàn)了對(duì)截距的知識(shí)，教師必須在這里提及誰(shuí)決定了與y軸的交點(diǎn)。此處的提及要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：第一，與y軸交點(diǎn)就是(0，b)，截距就是與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo);第二，與斜率沒(méi)有任何關(guān)系，與y軸的交點(diǎn)與k值無(wú)關(guān)。第二點(diǎn)尤其重要，這讓k與b的分工徹底區(qū)分開(kāi)，表示了b決定了圖像的位置，k不決定位置。如果聯(lián)想到二次函數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很類似的結(jié)論，與拋物線形狀有關(guān)的其實(shí)只有a，b、c都在一定程度上影響了拋物線的位置，這點(diǎn)在復(fù)習(xí)的時(shí)候很好用。
(杭州英特外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上2017年第三次月考)例題：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，圖象不可能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過(guò)平移變換、軸對(duì)稱變換得到的函數(shù)是( )
A.()﹣y=2(x+1)2﹣1B.y=2x2+3
C.y=−2x2−1D.y=12x2−1
同時(shí)，這也就解釋了為什么b=0的時(shí)候會(huì)過(guò)原點(diǎn)，在演示中，教師保持k不變，學(xué)生就可以輕易的看出，隨著b的變化，直線是在上下平移的。而后才出現(xiàn)了單調(diào)性的結(jié)論。如果說(shuō)前一個(gè)問(wèn)題解決了b的幾何意義，那么這里就是要解決k的幾何意義。也就給出了我們教學(xué)的基本思路：
1. k和b應(yīng)該分開(kāi)理解，讓學(xué)生了解它們各自的分工，并且互不干擾。
2. 從難易程度上來(lái)說(shuō)b相對(duì)簡(jiǎn)單，應(yīng)該先講b再講k。
因此這一堂課其實(shí)只有兩個(gè)點(diǎn)：k決定了直線的傾斜角度，b決定了圖像的位置。
(二)k的教法
在講解完截距后，k其實(shí)就相對(duì)好講，引入也很簡(jiǎn)單：“b決定了圖像與y軸的交點(diǎn)，那么k決定了什么呢?”這里大可以讓學(xué)生猜一猜，會(huì)有猜與x軸交點(diǎn)的，這其實(shí)也不算錯(cuò)，之后可以作為一個(gè)補(bǔ)充結(jié)論，不過(guò)意義不太大。
在這里可以動(dòng)態(tài)演示，當(dāng)截距不變時(shí)，k上下變化圖像會(huì)如何變化?從感覺(jué)上來(lái)看，學(xué)生都會(huì)發(fā)現(xiàn)是在繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可以問(wèn)一句這個(gè)點(diǎn)是什么?(0，b)，這也算驗(yàn)證了之前的所學(xué)，這里可以讓學(xué)生自己描述自己的看法，教師要聽(tīng)到聯(lián)系性的描述。不一定是非常準(zhǔn)確的描述，要聽(tīng)到k變大變小時(shí)，圖像會(huì)如何變化這樣發(fā)現(xiàn)數(shù)字和圖像直接因果關(guān)系的句子就算成功。那么我們要總結(jié)出三個(gè)結(jié)論：
1. k的正負(fù)與圖像的上升和下降。僅僅依靠這個(gè)，就可以與之前的知識(shí)結(jié)合起來(lái)解決一些題型了：
例題：直線y=kx+b經(jīng)過(guò)一、三、四象限，則直線y=bx-k的圖象只能是圖中的( )
一次函數(shù)的位置與系數(shù)的關(guān)系
不要讓學(xué)生去記復(fù)雜的東西，把情況只分成兩類k的正負(fù)與上升和下降，不然過(guò)段時(shí)間不用絕對(duì)會(huì)忘。
2. 上升下降與k的正負(fù)，反過(guò)來(lái)也可以快速說(shuō)出。這點(diǎn)就不多做解釋，b的正負(fù)問(wèn)題可以一起解決。
3. 傾斜程度與k的大小問(wèn)題。有的老師會(huì)問(wèn)，記得k大于0一定過(guò)一、三，反之一定過(guò)二四，不演示行不行。肯定是不合適的，比如：
k與傾斜角
例題：如圖，三個(gè)正比例函數(shù)對(duì)應(yīng)的解析式為①y=ax;②y=bx;③y=cx，則a、b、c的大小關(guān)系是( )
A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a
此處一定要強(qiáng)調(diào)傾斜角度指的是與x軸的夾角，夾角越大k的絕對(duì)值越大。這道題很適合拿來(lái)做，因?yàn)閷W(xué)生可能會(huì)在③這條線上出錯(cuò)，此時(shí)它的k是負(fù)數(shù)，肯定是最小的。
在最后一定要反過(guò)來(lái)強(qiáng)調(diào)，斜率只決定了傾斜角度，截距只決定了位置，關(guān)鍵在于“只”，它是讓問(wèn)題簡(jiǎn)單化的關(guān)鍵。
(三)為什么這樣教
1. 這種方式在我實(shí)踐下來(lái)基本所有學(xué)生都可以理解，相比于死記硬背，這也是效率明顯比較高的方式。
2. 對(duì)后續(xù)的教學(xué)有利。實(shí)際上，我們這一課之后會(huì)涉及到平移的有關(guān)問(wèn)題，在這種k和b完全分開(kāi)的教學(xué)后，平移我們起碼可以讓學(xué)生明白，k是一定不會(huì)變的。如：
例題：如果直線y=m2x+m−1是由直線y=x平移得到的不同直線，那么是經(jīng)過(guò)怎么樣的平移得到的?
而這之后，我們也可以方便的通過(guò)圖像向?qū)W生解釋，為什么增減性問(wèn)題只與k有關(guān)，因?yàn)閗決定了上升或者下降，b只決定了圖像位置。
另一方面，其中將各個(gè)系數(shù)分開(kāi)理解的理解方式，對(duì)后續(xù)二次函數(shù)的教學(xué)會(huì)有好處。
3.兼顧到了優(yōu)等生。在習(xí)題中，我們可以以此為基礎(chǔ)，夾雜難度比較高的題型，補(bǔ)充一些難度高，教材中不要求掌握的知識(shí)點(diǎn)如：
(1)兩直線平行的條件：k相等b不等。
(2)兩直線垂直的條件探究：斜率互為負(fù)導(dǎo)數(shù)。
(3)一些利用幾何意義解決的難題：
例題：已知A(3，5)，B(5，4)，若直線y=kx-2k與線段AB有交點(diǎn)，那么k的取值范圍是_________.
比如上題就是利用過(guò)定點(diǎn)(2，0)，只要考慮k剛好交于A、B點(diǎn)的情況，就可以判斷出k的范圍。
四、 其他函數(shù)的要點(diǎn)一覽
(一)反比例函數(shù)
1. k的正負(fù)決定了象限
2. k的絕對(duì)值大小決定了圖像與原點(diǎn)的距離，例題：
(2010大港區(qū)一模)如圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點(diǎn)A在直線y=x上，其中A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y=kx(k≠0)與△ABC有交點(diǎn)，則k的取值范圍是____________________-.
3. 雙曲線上任意一點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段，與x軸、y軸圍成的矩形面積為|k|.
例題：在平面直角坐標(biāo)系中，A，B是反比例函數(shù)y=4x在同一支上的不同兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別向x軸y軸作垂線，垂足為E、F，求證：EF∥AB.
(二)二次函數(shù)
1. 一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式的a(二次項(xiàng)系數(shù))意義相同，都決定了開(kāi)口大小和方向。A的絕對(duì)值越大開(kāi)口越小。
2. 在頂點(diǎn)式中，可以直接讀出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱軸
3. 在一般式中：(1)c是截距(2)b有左同右異(3)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式
4. 在交點(diǎn)式中，可以直接讀出與x軸的交點(diǎn)，以及知道怎么樣計(jì)算對(duì)稱軸位置。
5. 了解Δ的數(shù)性與圖像的關(guān)系，(1)Δ>0，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);(2)Δ=0與x軸有一個(gè)交點(diǎn);(3)Δ小于0與x軸無(wú)交點(diǎn)
*6.a+b+c與a-b+c分別是x=1和x=-1時(shí)的y值。
五、結(jié)語(yǔ)
本文只討論怎么樣把有關(guān)函數(shù)圖像的知識(shí)點(diǎn)講精，所以很多考點(diǎn)比如利用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，不是不重要，而是不在本文的討論范圍內(nèi)。我最想寫的東西，是想表明，如果一個(gè)教師想完成教科書(shū)上的目標(biāo)，那么我們有哪些東西要講透。這次列舉的浙江版教科書(shū)，很多東西在參考用書(shū)上可能會(huì)寫，但對(duì)于年輕教師來(lái)說(shuō)，其實(shí)最大的難點(diǎn)在于要講什么。講題目容易，講課難。
課本上好像就那么點(diǎn)東西，有時(shí)候覺(jué)得學(xué)生自己看書(shū)都能看懂。我覺(jué)得不是這樣的，老師還是要把學(xué)生想得笨一點(diǎn)，書(shū)本如果說(shuō)是告訴了學(xué)生“是這么一回事“，教師的工作就是告訴學(xué)生”怎么理解這個(gè)內(nèi)容“”為什么會(huì)這樣“”怎么樣在你的記憶中去編排它“。按照我的恩師的說(shuō)法，一個(gè)教師的水平，就體現(xiàn)在怎么把復(fù)雜的東西說(shuō)得簡(jiǎn)單，很多學(xué)生搞不懂函數(shù)，其實(shí)這就是老師沒(méi)抓住函數(shù)的本質(zhì)。一次函數(shù)就學(xué)兩個(gè)字母k和b。我們的任務(wù)不是把題型分化，而是把所有題型都轉(zhuǎn)化成k和b兩個(gè)問(wèn)題。要讓學(xué)生覺(jué)得原來(lái)所有的題目都是一個(gè)樣子，”萬(wàn)變不離其宗“。
我不太寫這些東西，水平也有限的很，不過(guò)很高興的是，之前發(fā)的文章雖然沒(méi)什么反響，但是也有幾個(gè)跟我一樣對(duì)教學(xué)有興趣的年輕老師想法兒加了我微信，想有時(shí)候探討一下教學(xué)。若要說(shuō)我有什么想做的，就是盡可能多的預(yù)見(jiàn)更多同好，沒(méi)有太多想法，就是想知道怎么把課上好，互相交流經(jīng)驗(yàn)。同志雖少，但總聊勝于無(wú)。
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