2023年初中數(shù)學(xué)通過分析構(gòu)造輔助線來解答圖形復(fù)雜的證明題

如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)。求證：四邊形A2B2C2D2是正方形。

這道題的難點(diǎn)是圖形比較復(fù)雜，找等量關(guān)系比較難，這樣一來，我們做輔助線構(gòu)造輔助線就變得比較吃力，我們可以試著連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F，E，連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，這樣的話，根據(jù)三角形的中位線定理可得A2E=FB2，EB2=FC2。

然后證明得到∠B2FC2=∠A2EB2，然后利用邊角邊定理證明得到△B2FC2與△A2EB2全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得A2B2=B2C2，再根據(jù)角的關(guān)系推出得到∠A2B2 C2=90°，從而得到A2B2與B2C2垂直且相等，同理可得其它邊也垂直且相等，所以四邊形A2B2C2D2是正方形。

如果沒看明白的話，下面我把具體過程寫下來，大家根據(jù)解題過程再慢慢消化。

證明：如圖，連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F，E.連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC2，

∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB2+∠Q=90°，

∴∠GEB2=∠GFQ，

∴∠B2FC2=∠A2EB2，

可得△B2FC2≌△A2EB2，

所以A2B2=B2C2，

又∠HB2C2+∠HC2B2=90°和∠B2C2Q=∠EB2A2，

從而可得∠A2B2 C2=90°，

同理可得其它邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

這道題題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵。

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