初中幾何一直是不少同學(xué)比較頭疼的問(wèn)題。在證明幾何題時(shí)，找不準(zhǔn)方向，以至于千頭萬(wàn)緒，不知從何入手;甚至以前做過(guò)的題，也如過(guò)眼云煙。
這是什么原因?
我認(rèn)為是沒(méi)有掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。在這里我先簡(jiǎn)單的介紹下我自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況(你們也可以理解為我適當(dāng)?shù)拇祰u下自己)：小學(xué)和初中數(shù)學(xué)每次考試要么是滿分要么是接近滿分;高中正好遇到我的青春叛逆期，數(shù)學(xué)成績(jī)有所下滑;但到了大學(xué)以后，數(shù)學(xué)成績(jī)又突飛猛進(jìn);研究生招生考試，數(shù)學(xué)考了139分(滿分150，139在當(dāng)年真算的上是很高的分?jǐn)?shù)，周圍很多平時(shí)成績(jī)很好的同學(xué)連90分都沒(méi)有)的好成績(jī);2019年參加高中教師資格證考試，一次性通過(guò)(當(dāng)時(shí)有一個(gè)87人考初高中數(shù)學(xué)教師資格證的微信群，僅三人通過(guò)，另外兩個(gè)通過(guò)的是初中教師資格證)，要知道這離我2008年碩士畢業(yè)，已經(jīng)11年過(guò)去了。11年沒(méi)看過(guò)數(shù)學(xué)，一次性通過(guò)高中數(shù)學(xué)教師資格證考試(含初中、高中、大學(xué)內(nèi)容)，是什么概念?是因?yàn)槲覕?shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)穩(wěn)固，11年都沒(méi)怎么忘記。也就是說(shuō)只要您學(xué)習(xí)方法得當(dāng)，真正理解了數(shù)學(xué)概念，即使過(guò)再久撿起來(lái)也非常容易。
好，轉(zhuǎn)回正題。
幾何不僅僅是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)中也占有相當(dāng)大的比重，其難度呈螺旋式上升，所以初中幾何基礎(chǔ)一定要打好。好在初中幾何變化并不多，大同小異，只要掌握了學(xué)習(xí)或思考的方法，小的差異舉一反三，大多數(shù)幾何題便迎刃而解。
學(xué)好數(shù)學(xué)不妨分為以下幾步，如果你能讀懂并執(zhí)行，90%的題目能一分鐘之內(nèi)甚至幾秒鐘之內(nèi)出解題思路，相信你的數(shù)學(xué)成績(jī)會(huì)有質(zhì)的飛躍!
第一步：牢記概念、定理、性質(zhì)
很多家長(zhǎng)、老師只知道讓自己孩子或?qū)W生多刷題，實(shí)行題海戰(zhàn)術(shù)，但是他們不清楚自己的孩子甚至連課本上的基本概念都稀里糊涂。一味的做題，把孩子弄得身心俱疲不說(shuō)，甚至?xí)a(chǎn)生抵觸情緒。到最后依然只會(huì)做些簡(jiǎn)單的題目，對(duì)于較難的題目，只要稍微有些變化，依然不會(huì)，這樣會(huì)使孩子逐漸失去對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。說(shuō)實(shí)話，這樣的家長(zhǎng)和老師不在少數(shù)。
其實(shí)大部分看似較難的題目都是從基本的定義、定理和性質(zhì)入手，不信?一會(huì)舉幾個(gè)例子你看看就知道了。
那么如何才能熟練的掌握這些最基本的知識(shí)呢?我認(rèn)為需要做好以下三點(diǎn)：1、熟讀教材，理解這些概念的代數(shù)和幾何意義;2、熟背定義定理性質(zhì)(誰(shuí)說(shuō)數(shù)學(xué)不用背的?雖說(shuō)不像語(yǔ)文英語(yǔ)背的那么多，當(dāng)然不是死記硬背，而是在理解的基礎(chǔ)上去背誦);3、做題的過(guò)程中要清楚每一題應(yīng)用了什么概念定理和性質(zhì)。
如果能牢記并掌握概念、定理、性質(zhì)，做到以上三點(diǎn)，那么恭喜你，你達(dá)到了及格線，也就是說(shuō)考試滿分100分，你能得個(gè)60分是不成問(wèn)題的。
初中幾何
當(dāng)然我們絕大部分同學(xué)不滿足60分的及格成績(jī)，那怎么辦?不急，我們繼續(xù)看第二步：
第二步：如何去思考?
很多學(xué)生碰到較為靈活或稍有難度的題目，千頭萬(wàn)緒，百思莫解。這其實(shí)是因?yàn)闆](méi)有抓住初中幾何的本質(zhì)，以及思考的方法。實(shí)際上很多題壓根就不用你怎么去思考，只要你掌握了一個(gè)固定的解題方法。
我們先來(lái)了解初中幾何的本質(zhì)——初中階段的大多數(shù)數(shù)學(xué)幾何題，本質(zhì)上都是對(duì)線或角之間關(guān)系的處理。記住，再?gòu)?qiáng)調(diào)一遍：線或角(線與線、線與角、角與角)之間關(guān)系的處理。
也就是說(shuō)，如果在解題的過(guò)程中，有意識(shí)地去找與條件或結(jié)論相關(guān)的角或線的關(guān)系，越多越好，思路通常很快自然而然就出來(lái)了。一般情況下，解題時(shí)需要先找出突破口，突破口在哪?就是題目中的關(guān)鍵語(yǔ)句。
好，我們來(lái)看下面這道例題：
例1、如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，DE、CE分別是∠ADC、∠BCD的平分線.若AD=5，DE=6，則平行四邊形ABCD的面積是()
例1 圖1-1
A.96 B.60 C.48 D.30
【思考】這一題是讓我們求平行四邊形ABCD的面積。我們最容易想到是公式法： 底×高;第二種方法：也可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)三角形的面積和，而求三角形的面積公式是底×高÷2。看看這兩種方法本質(zhì)上都是線與線的關(guān)系。
那我們就沿著這條主線轉(zhuǎn)化題目中的每個(gè)條件：我們看到條件中關(guān)鍵語(yǔ)句是角平分線，那么我們不用去思考，直接就利用角平分線的性質(zhì)，把所有相等的角標(biāo)記出來(lái)。有同學(xué)也許會(huì)問(wèn)，我們求的是線與線的關(guān)系，標(biāo)出相等的角有什么用?原因在于：一、題目中最關(guān)鍵的語(yǔ)句只有角平分線，我們只有利用角平分線的性質(zhì)不是?二、角的關(guān)系很多時(shí)候都可以轉(zhuǎn)化成線與線的關(guān)系啊，最常用的等腰三角形兩腰相等不是嗎?
好，利用角平分線的性質(zhì)，我們?cè)趫D中標(biāo)出ED將∠ADC分為兩個(gè)相等的∠1，EC將∠DCB分為兩個(gè)相等的∠2。那么這樣我們是否把所有相等的∠1和∠2都標(biāo)出來(lái)了?顯然不是!因?yàn)槲覀兛梢钥吹街粯?biāo)出這兩對(duì)相等的角沒(méi)有用，還是解不出來(lái)。那么我們認(rèn)真讀一下題目條件，發(fā)現(xiàn)可以再根據(jù)平行四邊形兩對(duì)邊平行的性質(zhì)，標(biāo)出圖中所有與∠1和∠2相等的角。
那這與平行四邊形面積有什么關(guān)系呢?我們?cè)俑鶕?jù)剛才求得相等的角轉(zhuǎn)化成線段與線段的關(guān)系，很容易看出△ADE和△BCE為等角三角形，即AD=AE=5、BE=BC=5。從而繼續(xù)求得AB=10，再利用勾股定理或者等面積法求得△ADE的AE邊上的高(也為平行四邊形的高)，從而求得平行四邊形的面積，詳細(xì)請(qǐng)看本題解法一。
例1 圖1-2
例1 圖1-3
方法一：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，
∵DE、CE分別是∠ADC、∠BCD的平分線， (首先從關(guān)鍵語(yǔ)句角平分線入手)
∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠BCE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD=BC=5，
∠CDE=∠DEA，∠DCE=∠CEB， (再利用平行線的性質(zhì)，找出所有相等的角)
∴∠ADE=∠AED，∠CBE=∠BEC， (等量代換，找出等腰三角形)
∴DA=AE=5，BC=BE=5， (把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系)
∴AB=10，
則DF=DE﹣EF=AD﹣AF，
故6﹣FE=5﹣(5﹣EF)，
解得：EF=3.6，
則DE==4.8，
故平行四邊形ABCD的面積是：4.8×10=48.
故選：C.
方法二：當(dāng)標(biāo)出所有相等的角以后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)∠1+∠2=90，那么∠DEC=90;因?yàn)镈C=AE+EB=10,DE=6，解得：CE=8;所以平行四邊形面積為2倍直角三角形DEC的面積，即48。
本題用到了角平分線、平行四邊形、平行線、等腰三角形、勾股定理等的基本性質(zhì)�？吹�?jīng)]，這就說(shuō)明了第一步，熟記定義、定理和性質(zhì)有多么重要!但顯然，本題中最重要的一個(gè)條件是角平分線，我們甚至可以不管結(jié)論要求什么，而直接由角平分線的性質(zhì)引導(dǎo)標(biāo)出所有相等的角。
掌握了第二步如何去思考，100分的試卷，75分以上是不成問(wèn)題了，那如何才能獲取更高分呢?要善于去歸納總結(jié)。
第三步，學(xué)會(huì)如何去歸納總結(jié)
做完了一個(gè)較難或者你認(rèn)為比較重要的題目時(shí)，記得去歸納總結(jié)，形成自己的方法體系。如此，以后再遇到類似的題目時(shí)，你可以很快有解題思路。那么怎么去總結(jié)歸納呢?我們常用的有：理論知識(shí)點(diǎn)歸納法，具體解題方法歸納法。(最好有幾個(gè)精致的錯(cuò)題本。為什么是幾個(gè)?因?yàn)榭赡茉瓉?lái)的歸納比較淺顯，隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)行和深入，后面的歸納會(huì)越來(lái)越簡(jiǎn)練、全面、深刻)
3.1、理論知識(shí)點(diǎn)歸納法
即我們做一道題，可能要用到哪些相關(guān)的知識(shí)才能解答出來(lái)。比如幾何題中求線段最小值，我們學(xué)過(guò)的關(guān)于求線段最小值的定義、定理或性質(zhì)可以歸納在一起有：
1) 兩點(diǎn)之間線段最短;
2) 點(diǎn)到直線的距離垂線段最短;
3) 三角形兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊。
我們?cè)賮?lái)舉個(gè)例子，看一看。
例2、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有ADCE中，DE最小的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
例2 圖2-1
【思考】結(jié)論要求線段最小值，那我們腦海中就要浮現(xiàn)出，求線段最小值有以上三種定理可以應(yīng)用。那么本題要用哪個(gè)定理呢?我們繼續(xù)分析：
我們找出題目中的關(guān)鍵語(yǔ)句：以AC為對(duì)角線的所有ADCE中。我們知道平行四邊形的對(duì)角線互相平分，求DE最短，也就是求DO最短，那么當(dāng)DO什么時(shí)候最短呢?O點(diǎn)和BC都是固定的，那么只有當(dāng)OD⊥BC時(shí)，由垂線段最短可知，此時(shí)，DO最短，也即DE線段取最小值.
很多同學(xué)看到別人的解析，覺(jué)得自己懂了，就扔掉不管了。不要以為看到解析，你就真懂了。如果這道題目你開(kāi)始沒(méi)做出來(lái)，或者解題時(shí)千頭萬(wàn)緒，花了很長(zhǎng)時(shí)間才做出來(lái)，那么這個(gè)時(shí)候你就要去歸納了，把它內(nèi)化成自己的東西。
怎么歸納呢?
首先在錯(cuò)題本上列出幾何題中求線段的最小值，相關(guān)的定義、定理和性質(zhì)(上面已列出，此處不再重復(fù))然后再把每種情況下面都對(duì)應(yīng)寫個(gè)幾道例題，方便我們復(fù)習(xí)時(shí)對(duì)照著去思考。
3.2、具體方法歸納法
即我們做某一類題，需要用到什么方法?比如我們碰到中點(diǎn)、角平分線等等怎么去做輔助線?看到30、45、60特殊角，或者特殊值時(shí)，我們首先應(yīng)該聯(lián)想到什么?或者首先要做什么?
我們?cè)賮?lái)看一道題：
例3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F，且AF=4，EF=，則AC=——
圖 例3-1
【思考】看到題目中有線段長(zhǎng)為，我們就可以以此來(lái)判斷是否有以此線段為一邊的特殊角為45呢?如果有，我們就可以以此邊為直角三角形的斜邊構(gòu)造直角三角形。我們首先來(lái)看題目中的關(guān)鍵語(yǔ)句：AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F。有兩條角平分線交于一點(diǎn)時(shí)，常連接第三個(gè)頂點(diǎn)與角平分線的交點(diǎn);并觀察三角形兩角和的一半是否為特殊角，很顯然，∠FAB+∠FBA=45°，所以由外角定理可得∠AFE=45° 。然后再以EF為斜邊構(gòu)造直角三角形，即過(guò)E作EGAD于點(diǎn)G。
圖 例3-2
那么通過(guò)這個(gè)題目我們就可以歸納總結(jié)出一個(gè)方法：
看到題目中有線段長(zhǎng)為、等特殊值時(shí)，我們就可以以此來(lái)判斷是否有以此線段為一邊的45、60的特殊角。如果有，我們就可以以此邊為直角三角形的斜邊或直角邊來(lái)構(gòu)造直角三角形。
......
看到?jīng)]，總結(jié)多了，形成自己的知識(shí)體系，時(shí)常溫故而知新，下次再碰到這類題目，就會(huì)形成條件發(fā)射，下筆如有神!
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