2022年初中數(shù)學(xué)利用軸對稱求距離之和最短距離

已知：如下圖，A、B兩點是直線l同旁的兩個定點

問題：在直線l上求一點P，使得PA+PB的值最小.

分析：作點A關(guān)于直線l的對稱點A’，連結(jié)A’B，交直線于點P，此時PA+PB=A’B最小.證明過程很簡單，在直線上再任取一點P’，P’A=P’A’，P’A+P’B=P’A’+P’B>A’B，所以點P是所求.

模型應(yīng)用：

(1)如圖，正方形ABCD邊長為2，點E是邊AB中點，點P是對角線AC上一點.則PE+PB的最小值是 .

(2)如圖，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一點，則PA+PC的最小值是 .

(3)如圖，直線AB與x軸交于點A(2，0)，與y軸交于點B(0,4)，點C、D分別是OA、AB的中點，P是OB上一點，求△PCD周長的最小值.

以上幾題是模型1在不同題型中的運(yùn)用，同學(xué)們?nèi)绻�能練�?ldquo;火眼金睛”，善于在變化的條件中找到不變的數(shù)學(xué)模型，“以不變應(yīng)萬變”，就可以像孫悟空一樣成為考場上的“斗戰(zhàn)勝佛”.如果把模型1中的條件稍作調(diào)整，又可以得到它的一些推廣模型.

答案：

推廣1：

已知：如圖，點P是∠AOB內(nèi)一定點.

問題：分別在OA、OB邊上找點M、N，使△PMN的周長最小.

分析：△PMN的周長=PM+MN+NP，可以利用作軸對稱，把這三條線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段.如圖，分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P’、P’’，連結(jié)P’P’’，分別交OA、OB于點M、N，連結(jié)PM、PN，此時PM=P’M，PN=P’N，△PMN的周長=PM+MN+NP=P’P’’，此時周長最小.

模型應(yīng)用：如圖，點C(1,0)，直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，D、E分別是AB、OA上的動點，則△CDE周長的最小值是

.

答案：10

推廣2：

已知：點P、Q是∠AOB內(nèi)部兩定點.

問題：分別在直線OA、OB上找點M、N，使四邊形PMNQ的周長最小.

分析：因為PQ的長度是定值，要使四邊形PMNQ的周長最小，就是要使PM+MN+NQ的值最小.作點P關(guān)于OA的對稱點P’，作點Q關(guān)于OB的對稱點Q’，連結(jié)P’Q’，分別交直線OA、OB于點M、N，連結(jié)PM、MN、NQ，因為PM=P’M，QN=Q’N，所以四邊形PMNQ的周長=PM+MN+NQ+QP=P’Q’+PQ，因為PQ是定值，而PM+MN+NQ的最小值為P’Q’的長度，所以此時四邊形PMNQ的周長最小.

模型應(yīng)用：在平面直角坐標(biāo)系中，點A(-8,3)，點B(-4,5)，點C(0，n)，點D(m，0)，當(dāng)四邊形ABCD周長最短時，求m：n的值.

答案：

在變化萬千的已知條件下，能夠找到不變的規(guī)律，這與《易經(jīng)》中闡述的“變與不變”的智慧相吻合.人類最高的智慧，就是“以不變應(yīng)萬變”，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無敵法寶.

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