來源:本站原創(chuàng) 2022-01-25 20:45:39
二次函數(shù)的定義
注意:(1)二次函數(shù)是關(guān)于自變量的二次式,二次項系數(shù)a必須是非零實數(shù),即a≠0,而b,c是任意實數(shù),二次函數(shù)的表達式是一個整式;
(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),自變量x的取值范圍是全體實數(shù);
(3)當b=c=0時,二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù);
(4)一個函數(shù)是否是二次函數(shù),要化簡整理后,對照定義才能下結(jié)論,例如y=x2-x(x-1)化簡后變?yōu)閥=x,故它不是二次函數(shù)。
二次函數(shù)的三種表達式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
3二次函數(shù)的頂點坐標公式
對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c
其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交點式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [僅限于與x軸有交點A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的拋物線]
其中x1,2= -b±√b^2-4ac
頂點式:y=a(x-h)^2+k
[拋物線的頂點P(h,k)]
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:h=-b/2a= (x₁+x₂)/2 k=(4ac-b^2)/4a 與x軸交點:x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
4二次函數(shù)的平移規(guī)律口訣
加左減右,加上減下。
意思就是當二次函數(shù)寫成下面這個樣子時:
y=a(x+b)²+c,只要將y=ax²的函數(shù)圖像按以下規(guī)律平移。
(1)b>0時,圖像向左平移b個單位(加左)。
(2)b<0時,圖像向右平移b個單位(減右)。
(3)c>0時,圖像向上平移c個單位(加上)。
(4)c<0時,圖像向下平移c個單位(減下)。
拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,坐標為:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0,c)
拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)
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