2021年中考數(shù)學四邊形：性質(zhì)與判定

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　　四邊形的“性質(zhì)與判定”

　　通常，教科書中在給出一種圖形的定義后，會繼續(xù)討論由這個定義能進一步推出哪些結(jié)論，即得出這種圖形的一些性質(zhì).這些性質(zhì)往往是經(jīng)常用到的主要性質(zhì).這種圖形很可能還有一些其他性質(zhì)，教科書則未曾涉及.例如，平行四邊形除具有教科書中所說的“對邊平行且相等”“對角相等”“對角線互相平分”等主要性質(zhì)之外，還有“對角線的平方和等于四條邊的平方和”這個性質(zhì).它可以證明如下.

　　如圖3，作ABCD的高線DE，CF.利用全等三角形可以證明AE=BF.

　　AC2=AF2+CF2=(AB+BF)2+BC2-BF2=AB2+BC2+2AB·BF，

　　BD2=BE2+DE2=(AB-AE)2+DA2-AE2=AB2+DA2-2AB·AE。

　　∵AB=CD，AE=BF，

　　∴①+②，得AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2。

　　實際上，圖形的所有性質(zhì)都是由圖形定義所確定的.雖然定義本身并未直接表述出所有性質(zhì)，但是定義中已經(jīng)隱含了它們.故而以定義為出發(fā)點，可以逐步推導出所有性質(zhì).

　　圖形的“性質(zhì)”和“判定”，是兩類不同的問題.討論一種圖形的性質(zhì)，是在確定對象已經(jīng)是這種圖形的前提下進行的;討論一種圖形的判定，是為確定對象是這種圖形而進行的.有時，在分析某個問題的過程中，兩類問題都會出現(xiàn)，如先判定某對象是一種特定的圖形.再推導出它的一些性質(zhì).

　　是不是只要一種圖形有某條性質(zhì)，就可以反過來把這條性質(zhì)當成這種圖形的一個判定條件呢?不是!并非一種圖形的每個性質(zhì)都可以拿來作為這種圖形的判定條件.例如，正方形具有“對邊平行，鄰邊相等”的性質(zhì)，但是僅根據(jù)一個四邊形滿足“對邊平行.鄰邊相等”不能判定它是正方形，而只能判定它是菱形.

　　然而，“對邊平行，鄰邊相等.鄰角相等”是正方形所獨有的性質(zhì)，因此它能作為正方形的判定條件.又如，矩形具有“對角線相等”的性質(zhì)，但是僅根據(jù)一個四邊形的“對角線相等”并不能判定這個四邊形是矩形.

　　圖4中的等腰梯形和箏形都是對角線相等的四邊形，但它們不是矩形.如果一個四邊形“對角線相等”且“對邊平行”，則它一定是矩形，即一個四邊形“對邊平行，對角線相等”可以作為矩形的一個判定條件.總之，一種圖形的判定條件，必須是只有這種圖形才能夠滿足的條件.

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