中考網(wǎng)
全國(guó)站
快捷導(dǎo)航 中考政策指南 2024熱門中考資訊 中考成績(jī)查詢 歷年中考分?jǐn)?shù)線 中考志愿填報(bào) 各地2019中考大事記 中考真題及答案大全 歷年中考作文大全 返回首頁
您現(xiàn)在的位置:中考 > 知識(shí)點(diǎn)庫 > 初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) > 有理數(shù) > 正文

2021中考數(shù)學(xué)人教版有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2020-09-23 09:04:50

中考真題

智能內(nèi)容

一、正數(shù)和負(fù)數(shù)

正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

負(fù)數(shù):比0小的數(shù);正數(shù):比0大的數(shù)。

0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù)

☆注意:字母a可以表示任意數(shù),當(dāng)a表示正數(shù)時(shí),-a是負(fù)數(shù);當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí),-a是正數(shù);當(dāng)a表示0時(shí),-a仍是0。強(qiáng)調(diào):帶正號(hào)的數(shù)不一定是正數(shù),帶負(fù)號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)。

具有相反意義的量

若正數(shù)表示某種意義的量,則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量。習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正,“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù).

二、有理數(shù)

有理數(shù)的概念

(1)正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù))

(2)正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)

(3)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

☆注意:①π是無限不循環(huán)小數(shù),不能寫成分?jǐn)?shù)形式,不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù),都是有理數(shù)。

數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念:規(guī)定了原點(diǎn),正方向,單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

注意:數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線;

原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素,三者缺一不可;

數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的,同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一;

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系

所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點(diǎn)來表示,正有理數(shù)可用原點(diǎn)正方向的點(diǎn)表示,負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)負(fù)方向的點(diǎn)表示,0用原點(diǎn)表示。

相反數(shù)

(1)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù);0的相反數(shù)是0;任何一個(gè)有理數(shù)都有相反數(shù)

(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為0,即:若a、b互為相反數(shù),則a+b=0;互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)兩側(cè),并且與原點(diǎn)的距離相等。

(3)在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)“-”,就得到了這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。a的相反數(shù)是-a。

(4)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)

多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律:“+”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果,可以直接省略;“-”號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡(jiǎn)結(jié)果;即:“-”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),結(jié)果為負(fù),“-”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),結(jié)果為正。

絕對(duì)值

(1)絕對(duì)值的幾何定義:數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,叫做a的絕對(duì)值,記作:|a|

(2)求絕對(duì)值:正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,0的絕對(duì)值是0,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);可用字母表示為:①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0。

可歸納為①:a≥0時(shí),|a|=a(非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身;絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。) ②a≤0時(shí),|a|=-a (非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù);絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)

(3)若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0,則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即|a|+|b|=0,則a=0且b=0。(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì):若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0)

有理數(shù)比大小

(1)利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小

在以向右為正方向的數(shù)軸上數(shù)的大小比較,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;

正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù);

(2)數(shù)軸上特殊的最大(小)數(shù)

最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù);

最小的正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù);

最大的負(fù)整數(shù)是-1,無最小的負(fù)整數(shù)

(3)利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大。簝蓚(gè)負(fù)數(shù)比較大小,絕對(duì)值大的反而小;

(4)大數(shù)-小數(shù) > 0,小數(shù)-大數(shù) < 0。

三、有理數(shù)的加、減法運(yùn)算

有理數(shù)加法

(1)同號(hào)兩數(shù)相加,取相同符號(hào),并且把絕對(duì)值相加

(2)異號(hào)兩數(shù)相加,取絕對(duì)值大的數(shù)的符號(hào),并且用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值

(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0

加法交換律:兩個(gè)有理數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,和不變,a+b=b+a

加法結(jié)合律:三個(gè)有理數(shù)相加,先把前兩個(gè)數(shù)相加,再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相加;或者先把后兩個(gè)數(shù)相加,再把結(jié)果與第一個(gè)數(shù)相加,和不變,(a+b)+c=a+(b+c)

(1)同號(hào)結(jié)合相加(正數(shù)+正數(shù)、負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù))

(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)結(jié)合相加(把相加結(jié)果為零的數(shù)結(jié)合相加)

(3)幾個(gè)分?jǐn)?shù)相加,將同分母的先結(jié)合相加

(4)將求和后為整數(shù)的數(shù)先結(jié)合相加

(5)幾個(gè)帶分?jǐn)?shù)相加,可將整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合相加

☆在一個(gè)求和的式子中,通?梢园“+”省略不寫,同時(shí)去掉加數(shù)的括號(hào)

有理數(shù)的減法

根據(jù)相反數(shù)的定義,減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù),有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行計(jì)算。引入相反數(shù)的之后,有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算。

四、有理數(shù)的乘、除法運(yùn)算

有理數(shù)乘法

(1)異號(hào)兩數(shù)相乘得負(fù)數(shù),并把絕對(duì)值相乘;同號(hào)兩數(shù)相乘得正數(shù),并把絕對(duì)值相乘。

(2)任何數(shù)與0相乘都得0

☆有理數(shù)的乘法運(yùn)算定律

乘法交換律:兩個(gè)有理數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,它們的積不變。a×b=b×a

乘法結(jié)合律:三個(gè)數(shù)相乘,先把前兩個(gè)數(shù)相乘,再和另外一個(gè)數(shù)相乘,或先把后兩個(gè)數(shù)相乘,再和另外一個(gè)數(shù)相乘,積不變。a×b×c=a×(b×c)

乘法分配律:兩個(gè)數(shù)的和(差)同一個(gè)數(shù)相乘,可以先把兩個(gè)加數(shù)(減數(shù))分別同這個(gè)數(shù)相乘,再把兩個(gè)積相加(減),積不變。a×(b+c) =a×b+a×c

倒數(shù)

(1)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù);注意:0沒有倒數(shù);

(2)若a,b互為倒數(shù),則ab=1;

(3)求倒數(shù):求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)就是用1去除以這個(gè)數(shù)。

①求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù),只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可;

②求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí),先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù),再把分子、分母顛倒位置;

③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù),不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì));

④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1;

有理數(shù)除法

(1)除以一個(gè)不等0的數(shù),等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

(2)兩數(shù)相除,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù),都得0

有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算

(1)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法,然后確定積的符號(hào),最后求出結(jié)果。

(2)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算,如果有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)里的,如果無括則按照‘先乘除,后加減’的順序進(jìn)行,同級(jí)運(yùn)算中,按前后順序從左到右依次運(yùn)算,誰在前先算誰。

五、有理數(shù)乘方

乘方的概念:求n 個(gè)相同因數(shù)的乘積的運(yùn)算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪。乘方中,相同的因式叫做底數(shù),相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)。

記作:an,在an中,a 叫做底數(shù),n 叫做指數(shù),an叫做冪

乘方的性質(zhì)

(1)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。

(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),0的任何正整數(shù)次冪都是0。

(3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的奇數(shù)次冪仍互為相反數(shù),偶數(shù)次冪相等。

(4)任何一個(gè)數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)。

有理數(shù)的混合運(yùn)算

做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí),應(yīng)注意以下運(yùn)算順序:

(1)先乘方,再乘除,最后加減;

(2)同級(jí)運(yùn)算中,按前后順序從左到右依次運(yùn)算,誰在前先算誰。

(3)如有括號(hào),先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算,按小括號(hào),中括號(hào),大括號(hào)依次進(jìn)行。

科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)記成a×10n的形式,其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)(即1≤|a|<10,n是正整數(shù)),這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法。

方法:①a的確定:把原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng),使它的整數(shù)位數(shù)為1,數(shù)的正負(fù)號(hào)保持不變;②n=原數(shù)的整數(shù)數(shù)位-1。

   歡迎使用手機(jī)、平板等移動(dòng)設(shè)備訪問中考網(wǎng),2023中考一路陪伴同行!>>點(diǎn)擊查看

  • 歡迎掃描二維碼
    關(guān)注中考網(wǎng)微信
    ID:zhongkao_com

  • 歡迎掃描二維碼
    關(guān)注高考網(wǎng)微信
    ID:www_gaokao_com

  • 歡迎微信掃碼
    關(guān)注初三學(xué)習(xí)社
    中考網(wǎng)官方服務(wù)號(hào)

熱點(diǎn)專題

  • 2024年全國(guó)各省市中考作文題目匯總
  • 2024中考真題答案專題
  • 2024中考查分時(shí)間專題

[2024中考]2024中考分?jǐn)?shù)線專題

[2024中考]2024中考逐夢(mèng)前行 未來可期!

中考報(bào)考

中考報(bào)名時(shí)間

中考查分時(shí)間

中考志愿填報(bào)

各省分?jǐn)?shù)線

中考體育考試

中考中招考試

中考備考

中考答題技巧

中考考前心理

中考考前飲食

中考家長(zhǎng)必讀

中考提分策略

重點(diǎn)高中

北京重點(diǎn)中學(xué)

上海重點(diǎn)中學(xué)

廣州重點(diǎn)中學(xué)

深圳重點(diǎn)中學(xué)

天津重點(diǎn)中學(xué)

成都重點(diǎn)中學(xué)

試題資料

中考?jí)狠S題

中考模擬題

各科練習(xí)題

單元測(cè)試題

初中期中試題

初中期末試題

中考大事記

北京中考大事記

天津中考大事記

重慶中考大事記

西安中考大事記

沈陽中考大事記

濟(jì)南中考大事記

知識(shí)點(diǎn)

初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

初中物理知識(shí)點(diǎn)

初中化學(xué)知識(shí)點(diǎn)

初中英語知識(shí)點(diǎn)

初中語文知識(shí)點(diǎn)

中考滿分作文

初中資源

初中語文

初中數(shù)學(xué)

初中英語

初中物理

初中化學(xué)

中學(xué)百科