來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2020-09-23 09:04:50
一、正數(shù)和負(fù)數(shù)
正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念
負(fù)數(shù):比0小的數(shù);正數(shù):比0大的數(shù)。
0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù)
☆注意:字母a可以表示任意數(shù),當(dāng)a表示正數(shù)時(shí),-a是負(fù)數(shù);當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí),-a是正數(shù);當(dāng)a表示0時(shí),-a仍是0。強(qiáng)調(diào):帶正號(hào)的數(shù)不一定是正數(shù),帶負(fù)號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)。
具有相反意義的量
若正數(shù)表示某種意義的量,則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量。習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正,“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù).
二、有理數(shù)
有理數(shù)的概念
(1)正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù))
(2)正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)
(3)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)
☆注意:①π是無限不循環(huán)小數(shù),不能寫成分?jǐn)?shù)形式,不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù),都是有理數(shù)。
數(shù)軸
(1)數(shù)軸的概念:規(guī)定了原點(diǎn),正方向,單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。
注意:數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線;
原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素,三者缺一不可;
數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的,同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一;
(2)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系
所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點(diǎn)來表示,正有理數(shù)可用原點(diǎn)正方向的點(diǎn)表示,負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)負(fù)方向的點(diǎn)表示,0用原點(diǎn)表示。
相反數(shù)
(1)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù);0的相反數(shù)是0;任何一個(gè)有理數(shù)都有相反數(shù)
(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為0,即:若a、b互為相反數(shù),則a+b=0;互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)兩側(cè),并且與原點(diǎn)的距離相等。
(3)在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)“-”,就得到了這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。a的相反數(shù)是-a。
(4)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)
多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律:“+”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果,可以直接省略;“-”號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡(jiǎn)結(jié)果;即:“-”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),結(jié)果為負(fù),“-”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),結(jié)果為正。
絕對(duì)值
(1)絕對(duì)值的幾何定義:數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,叫做a的絕對(duì)值,記作:|a|
(2)求絕對(duì)值:正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,0的絕對(duì)值是0,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);可用字母表示為:①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0。
可歸納為①:a≥0時(shí),|a|=a(非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身;絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。) ②a≤0時(shí),|a|=-a (非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù);絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)
(3)若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0,則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即|a|+|b|=0,則a=0且b=0。(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì):若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0)
有理數(shù)比大小
(1)利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小
在以向右為正方向的數(shù)軸上數(shù)的大小比較,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;
正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù);
(2)數(shù)軸上特殊的最大(小)數(shù)
最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù);
最小的正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù);
最大的負(fù)整數(shù)是-1,無最小的負(fù)整數(shù)
(3)利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大。簝蓚(gè)負(fù)數(shù)比較大小,絕對(duì)值大的反而小;
(4)大數(shù)-小數(shù) > 0,小數(shù)-大數(shù) < 0。
三、有理數(shù)的加、減法運(yùn)算
有理數(shù)加法
(1)同號(hào)兩數(shù)相加,取相同符號(hào),并且把絕對(duì)值相加
(2)異號(hào)兩數(shù)相加,取絕對(duì)值大的數(shù)的符號(hào),并且用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值
(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0
☆
加法交換律:兩個(gè)有理數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,和不變,a+b=b+a
加法結(jié)合律:三個(gè)有理數(shù)相加,先把前兩個(gè)數(shù)相加,再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相加;或者先把后兩個(gè)數(shù)相加,再把結(jié)果與第一個(gè)數(shù)相加,和不變,(a+b)+c=a+(b+c)
☆
(1)同號(hào)結(jié)合相加(正數(shù)+正數(shù)、負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù))
(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)結(jié)合相加(把相加結(jié)果為零的數(shù)結(jié)合相加)
(3)幾個(gè)分?jǐn)?shù)相加,將同分母的先結(jié)合相加
(4)將求和后為整數(shù)的數(shù)先結(jié)合相加
(5)幾個(gè)帶分?jǐn)?shù)相加,可將整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合相加
☆在一個(gè)求和的式子中,通?梢园“+”省略不寫,同時(shí)去掉加數(shù)的括號(hào)
有理數(shù)的減法
根據(jù)相反數(shù)的定義,減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù),有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行計(jì)算。引入相反數(shù)的之后,有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算。
四、有理數(shù)的乘、除法運(yùn)算
有理數(shù)乘法
(1)異號(hào)兩數(shù)相乘得負(fù)數(shù),并把絕對(duì)值相乘;同號(hào)兩數(shù)相乘得正數(shù),并把絕對(duì)值相乘。
(2)任何數(shù)與0相乘都得0
☆有理數(shù)的乘法運(yùn)算定律
乘法交換律:兩個(gè)有理數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,它們的積不變。a×b=b×a
乘法結(jié)合律:三個(gè)數(shù)相乘,先把前兩個(gè)數(shù)相乘,再和另外一個(gè)數(shù)相乘,或先把后兩個(gè)數(shù)相乘,再和另外一個(gè)數(shù)相乘,積不變。a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律:兩個(gè)數(shù)的和(差)同一個(gè)數(shù)相乘,可以先把兩個(gè)加數(shù)(減數(shù))分別同這個(gè)數(shù)相乘,再把兩個(gè)積相加(減),積不變。a×(b+c) =a×b+a×c
倒數(shù)
(1)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù);注意:0沒有倒數(shù);
(2)若a,b互為倒數(shù),則ab=1;
(3)求倒數(shù):求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)就是用1去除以這個(gè)數(shù)。
①求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù),只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可;
②求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí),先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù),再把分子、分母顛倒位置;
③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù),不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì));
④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1;
有理數(shù)除法
(1)除以一個(gè)不等0的數(shù),等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
(2)兩數(shù)相除,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù),都得0
有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算
(1)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法,然后確定積的符號(hào),最后求出結(jié)果。
(2)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算,如果有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)里的,如果無括則按照‘先乘除,后加減’的順序進(jìn)行,同級(jí)運(yùn)算中,按前后順序從左到右依次運(yùn)算,誰在前先算誰。
五、有理數(shù)乘方
乘方的概念:求n 個(gè)相同因數(shù)的乘積的運(yùn)算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪。乘方中,相同的因式叫做底數(shù),相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)。
記作:an,在an中,a 叫做底數(shù),n 叫做指數(shù),an叫做冪
乘方的性質(zhì)
(1)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。
(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),0的任何正整數(shù)次冪都是0。
(3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的奇數(shù)次冪仍互為相反數(shù),偶數(shù)次冪相等。
(4)任何一個(gè)數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)。
有理數(shù)的混合運(yùn)算
做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí),應(yīng)注意以下運(yùn)算順序:
(1)先乘方,再乘除,最后加減;
(2)同級(jí)運(yùn)算中,按前后順序從左到右依次運(yùn)算,誰在前先算誰。
(3)如有括號(hào),先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算,按小括號(hào),中括號(hào),大括號(hào)依次進(jìn)行。
科學(xué)記數(shù)法
把一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)記成a×10n的形式,其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)(即1≤|a|<10,n是正整數(shù)),這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法。
方法:①a的確定:把原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng),使它的整數(shù)位數(shù)為1,數(shù)的正負(fù)號(hào)保持不變;②n=原數(shù)的整數(shù)數(shù)位-1。
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