1．定義
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．
2．圖象和性質(zhì)
二次函數(shù)的圖象都是開口向上或者向下的拋物線，都有一條垂直于x軸的對(duì)稱軸，都有一個(gè)或者最高或者最低的頂點(diǎn)．一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c．
�。�1）y=ax2(a是常數(shù)，a≠0）的性質(zhì)
�、匍_口方向：
a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．
�、陧旤c(diǎn)坐標(biāo)：（0，0）
a＞0時(shí)，（0，0）為最低點(diǎn)；
a＜0時(shí)，（0，0）為最高點(diǎn)．
�、蹖�(duì)稱軸：y軸（直線x=0）．
④增減性：
當(dāng)a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0時(shí)，
y隨x的增大而增大（同增）；
當(dāng)a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0時(shí)，
y隨x的增大而減�。ó悳p）．
⑤最值：
當(dāng)a＞0，且x=0時(shí)，y有最小值0；
當(dāng)a＜0，且x=0時(shí)，y有最大值0．
�。�2）y=ax2+c(a，c是常數(shù)，a≠0）的性質(zhì)
�、匍_口方向：
a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．
�、陧旤c(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）
a＞0時(shí)，（0，c）為最低點(diǎn)；
a＜0時(shí)，（0，c）為最高點(diǎn)．
�、蹖�(duì)稱軸：y軸（直線x=0）．
�、茉鰷p性：
當(dāng)a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0時(shí)，
y隨x的增大而增大（同增）；
當(dāng)a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0時(shí)，
y隨x的增大而減小（異減）．
�、葑钪担�
當(dāng)a＞0，且x=0時(shí)，y有最小值c；
當(dāng)a＜0，且x=0時(shí)，y有最大值c．
（3）y=a（x-h）2(a，h是常數(shù)，a≠0）的性質(zhì)
①開口方向：
a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．
②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（h，0）
a＞0時(shí)，（h，0）為最低點(diǎn)；
a＜0時(shí)，（h，0）為最高點(diǎn)．
�、蹖�(duì)稱軸：直線x=h．
�、茉鰷p性：
當(dāng)a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h時(shí)，
y隨x的增大而增大（同增）；
當(dāng)a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h時(shí)，
y隨x的增大而減�。ó悳p）．
⑤最值：
當(dāng)a＞0，且x=h時(shí)，y有最小值0；
當(dāng)a＜0，且x=h時(shí)，y有最大值0．
�。�4）y=a（x-h）2+k(a，h，k是常數(shù)，a≠0）
的性質(zhì)
①開口方向：
a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．
②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（h，k）
a＞0時(shí)，（h，k）為最低點(diǎn)；
a＜0時(shí)，（h，k）為最高點(diǎn)．
③對(duì)稱軸：直線x=h．
�、茉鰷p性：
當(dāng)a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h時(shí)，
y隨x的增大而增大（同增）；
當(dāng)a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h時(shí)，
y隨x的增大而減�。ó悳p）．
�、葑钪担�
當(dāng)a＞0，且x=h時(shí)，y有最小值k；
當(dāng)a＜0，且x=h時(shí)，y有最大值k．
�。�5）y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0）
的性質(zhì)
①開口方向：
a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．
�、陧旤c(diǎn)坐標(biāo)：
a＞0時(shí)，為最低點(diǎn)；
a＜0時(shí)，為最高點(diǎn)．
�、蹖�(duì)稱軸：．
④增減性：
當(dāng)a＞0，且x＞或a＜0，且x＜時(shí)，
y隨x的增大而增大（同增）；
當(dāng)a＞0，且x＜或a＜0，且x＞時(shí)，
y隨x的增大而減�。ó悳p）．
�、葑钪担�
當(dāng)a＞0，且x=時(shí)，y有最小值；
當(dāng)a＜0，且x=時(shí)，y有最大值．
3．三種表達(dá)式
�。�1）一般式：
y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
�。�2）頂點(diǎn)式：
y=a（x-h）2+k(a，h，k是常數(shù)，a≠0）；
�。�3）交點(diǎn)式：
y=a（x-x？）（x-x？）(a，x？，x？是常數(shù)，a≠0，
x？，x？分別是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）．
4．a(chǎn)，b，c的作用
�。�1）a決定拋物線的開口方向和大�。�
①a＞0時(shí)，開口向上；a＜0時(shí)，開口向下．
�、趞a|越大，開口越��；|a|越小，開口越大．
�。�2）a、b決定拋物線對(duì)稱軸的位置：
�、賏b＞0（a，b同號(hào)）時(shí)，
對(duì)稱軸在y軸左側(cè)(左同)
�、赼b＜0（a，b異號(hào)）時(shí)，
對(duì)稱軸在y軸右側(cè)(右異)
�、踑b=0（b=0）時(shí)，對(duì)稱軸為y軸(0中間)
�。�3）c決定拋物線與y軸交點(diǎn)（0，c）的位置：
①c＞0，拋物線與y軸正半軸相交
�、赾＜0，拋物線與y軸負(fù)半軸相交
③c=0，拋物線與y軸相交于原點(diǎn)
�。�4）b2-4ac決定拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：
�、賐2-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
②b2-4ac＜0，拋物線與x軸無交點(diǎn)
�、踒2-4ac=0，拋物線與x軸有唯一一個(gè)
交點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）
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