01
三角形中常見輔助線的添加
1. 與角平分線有關(guān)的
（1） 可向兩邊作垂線。
（2）可作平行線，構(gòu)造等腰三角形
�。�3）在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形
2. 與線段長度相關(guān)的
（1）截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可
�。�2）補(bǔ)短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可
（3）倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。
（4）遇到中點(diǎn)，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。
3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的
（1）考慮三線合一
�。�2）旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60 °
02
四邊形中常見輔助線的添加
特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時(shí)往往需要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。
1. 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法
平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形。
�。�1） 利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形
（2）利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形
�。�3）利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形
2. 與矩形有輔助線作法
�。�1）計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題。
�。�2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問題。和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少。
3. 和菱形有關(guān)的輔助線的作法
和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題。
�。�1）作菱形的高
（2）連結(jié)菱形的對(duì)角線
4. 與正方形有關(guān)輔助線的作法
正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多。解決正方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔助線。
5. 與梯形有關(guān)的輔助線的作法
和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：
�。�1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形
�。�2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形
�。�3）作一對(duì)角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形
（4）延長兩腰構(gòu)成三角形
�。�5）作兩腰的平行線等
03
圓中常見輔助線的添加
1. 遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問題時(shí)）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。
作用：
�、� 利用垂徑定理
② 利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系
�、� 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量
2. 遇到有直徑時(shí)
常常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角
作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形
3. 遇到90度的圓周角時(shí)
常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)
作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑
4. 遇到弦時(shí)
常常連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)
作用：
①可得等腰三角形
②據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角
5. 遇到有切線時(shí)
常常添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）
作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形
常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)
作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。
6. 遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)
�。�1） 若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。
作用：若OA=r，則l為切線
�。�2） 若直線過圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心（即作半徑）
作用：只需證OA⊥l，則l為切線
�。�3） 有遇到圓上或圓外一點(diǎn)作圓的切線
7. 遇到兩相交切線時(shí)（切線長）
常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)
作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到
�、� 角、線段的等量關(guān)系
�、� 垂直關(guān)系
�、� 全等、相似三角形
8. 遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)
連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段
作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得
�、� 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線
�、� 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等
9. 遇到三角形的外接圓時(shí)
連結(jié)外心和各頂點(diǎn)
作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等
10. 遇到兩圓外離時(shí)
�。ń鉀Q有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題）常常作出過切點(diǎn)的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線
作用：
�、倮们芯�的性質(zhì)；
�、诶媒庵苯侨切蔚挠嘘P(guān)知識(shí)
11. 遇到兩圓相交時(shí)
常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等
作用：
�、倮眠B心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識(shí)
② 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
�、� 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)
�、� 垂徑定理
12. 遇到兩圓相切時(shí)
常常作連心線、公切線
作用：
①利用連心線性質(zhì)
�、谇芯�性質(zhì)等
13. 遇到三個(gè)圓兩兩外切時(shí)
常常作每兩個(gè)圓的連心線
作用：可利用連心線性質(zhì)
14. 遇到四邊形對(duì)角互補(bǔ)或兩個(gè)三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時(shí)
常常添加輔助圓
作用：以便利用圓的性質(zhì)
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