代數(shù)式最值的求法

求代數(shù)式的最大值及最小值是初 試中經(jīng)常出現(xiàn)的題目，它的解法靈活多樣，不可一概而論，下面就初中階段較常見的解法舉例說(shuō)明，以便同學(xué)們復(fù)習(xí)參考。

一. 配方法

例1. 設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么 的最小值是___________。

解：

因?yàn)? ，

所以當(dāng) 且

即 且 時(shí)，式子 的值最小，最小值為－1。

二. 計(jì)算法

例2. 已知： ， ， ，則 的最小值為（ ）

A. B.

C. D.

解：由

解得

因?yàn)?

所以只要 最小， 就最小，通過計(jì)算當(dāng) ， ；或 時(shí)#p#分頁(yè)標(biāo)題#e# 最小，最小值為

所以 的最小值為

故選B

注：也可把a(bǔ)、b、c的值直接代入 通過計(jì)算并比較，從而求出其最小值。

三. 消元法

例3. 已知： ，則 的最大值是___________，最小值是_________。

解：由 得

所以

所以

所以

所以當(dāng) 時(shí)， 的最大值為 ；當(dāng) 時(shí)， 的最小值為－2。

四. 構(gòu)造法

例4. 求 的最大值。

解：原式可變形為

其中 可以看成是以 ， 為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)， 可以看成是以 ， 為直角邊的直角三角形中的斜邊長(zhǎng)。因此可構(gòu)造圖1。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

圖1

當(dāng)C點(diǎn)與D點(diǎn)不重合時(shí)，即 時(shí)，在 中有

即

當(dāng)C點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，即 時(shí)

所以當(dāng) 時(shí)即 時(shí)y取最大值 。

五. 坐標(biāo)法

例5. 已知： ，求： 的最小值。

解：如圖2，建立直角坐標(biāo)系， 的圖象是與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A（4，0）、B（0，8）的一條直線。

圖2

設(shè)P（x，y）是直線 上的一動(dòng)點(diǎn)，由勾股定理知 表示P（x，y）與O（0，0）間的距離，易知，只有當(dāng) 時(shí)， 最小。

作 ，垂足為C。

因?yàn)?

所以

所以 的最小值為 。

六. 換元法

例6. 求 的最大值。

解：因?yàn)? ，所以 #p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

則可設(shè)

所以

所以當(dāng) ，即 時(shí)， 有最大值1。

七. 利用基本不等式法

例7. 若 ，那么代數(shù)式 的最小值是_____________。

解：當(dāng) 時(shí)

因?yàn)?

所以

即

因?yàn)?

所以

所以 的最小值為1。

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