列方程解應用題的方法

從近幾年的 試題看，列方程解應用題型的試題出現(xiàn)在試卷上，其目的是考查學生分析問題和解決問題的能力。列方程解應用題就是將已知量與未知量的關系列成等式，通過解方程求出未知量的過程。如何解決這類題目，其方法很多，現(xiàn)結合實例給出幾種方法，以供參考。

一. 直譯法

設元后，視元為已知數(shù)，根據(jù)題設條件，把數(shù)學語言直譯為代數(shù)式，即可列出方程。

例1. （2004年山西省）甲、乙兩個建筑隊完成某項工程，若兩隊同時開工，12天就可以完成工程；乙隊單獨完成該工程比甲隊單獨完成該工程多用10天。問單獨完成此項工程，乙隊需要多少天？

解：設乙單獨完成工程需x天，則甲單獨完成工程需（x－10）天。根據(jù)題意，得

去分母，得

解得

經(jīng)檢驗， 都是原方程的根，但當 時， ，當 時， ，因時間不能為負數(shù)，所以只能取 。

答：乙隊單獨完成此項工程需要30天。

點評：設乙單獨完成工程需x天后，視x為已知，則根據(jù)題意，原原本本的把語言直譯成代數(shù)式，則方程很快列出。

二. 列表法

設出未知數(shù)后，視元為已知數(shù)，然后綜合已知條件，把握數(shù)量關系，分別填入表格中，則等量關系不難得出，進而列出方程（組）。

例2. （2004年海淀區(qū)）在某校舉辦的足球比賽中規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分。某班足球隊參加了12場比賽，共得22分，已知這個隊只輸了2場，那么此隊勝幾場？平幾場？

解：設此隊勝x場，平y(tǒng)場

由列表與題中數(shù)量關系，得

#p#分頁標題#e#

解這個方程組，得

答：此隊勝6場，平4場。

點評：通過列表格，將題目中的數(shù)量關系顯露出來，使人明白，從勝、平、負的場數(shù)之和等于12，總得分22分是勝場、平場、負場得分之和。建立方程組，利用列表法求解使人易懂。

三. 參數(shù)法

對復雜的應用題，可設參數(shù)，則往往可起到橋梁的作用。

例3. 從A、B兩汽車站相向各發(fā)一輛車，再隔相同時間又同時發(fā)出一輛車，按此規(guī)律不斷發(fā)車，且知所有汽車的速度相同，A、B間有騎自行車者，發(fā)覺每12分鐘，后面追來一輛汽車，每隔4分鐘迎面開來一輛汽車，問A、B兩站每隔幾分鐘發(fā)車一次？

解：設汽車的速度為x米/分；自行車的速度為y米/分，同一車站發(fā)出的相鄰兩輛汽車相隔m米。A、B兩站每隔n分鐘發(fā)一次車。則從A站發(fā)來的兩輛汽車間的距離為12［（汽車行進速度）－（自行車行進速度）］，從B站發(fā)來的兩輛汽車間的距離為：4［（汽車行進速度）＋（自行車行進速度）］。由題意，得

得：

所以

由（3）得 ，又由（4）得

答：A、B兩站相隔6分鐘發(fā)車一次。

點評：本例不用直接設元，因為無從著手，需要的已知量較多，但又是未知的，而選用x、y、m、n的參數(shù)，從而很容易列出方程組，使復雜的問題迎刃而解。

四. 線示法

運用圖線，把已知和未知條件間的數(shù)量關系，用線性圖表示出來，則等量關系可一目了然。

例4. A、B兩地間的路程為36里，甲從A地，乙從B地同時出發(fā)相向而行，二人相遇后，甲再走2小時30分鐘到達B地，乙再行走1小時36分鐘到達A地，求二人的速度？

解：設甲的速度為x里/小時，乙的速度為y里/小時，2小時30分 小時，1小時36分 小時。從出發(fā)到相遇時間 小時，甲從A到相遇點C要走#p#分頁標題#e# 里，乙從C地到A走了 里；乙從B到C要走 里，甲從C到B走 里，從圖1可以看清。

圖1

于是

解得

答：甲、乙二人的速度分別是8里/小時，10里/小時。

點評：把速度、時間、距離三者關系用線性圖表示，再把數(shù)量關系寫在直線圖上，則等量關系一目了然。

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