中學(xué)趣味數(shù)學(xué)：缺失的數(shù)字

在下面這個加法算式中，每個字母代表0～9的一個數(shù)字，而且不同的字母代表不同的數(shù)字。

AB

CD

EF

+GH

————

III

請問缺了0～9中的哪一個數(shù)字？

提示：I必定代表哪個數(shù)字？）

答 案

由于每一列都是四個不同的數(shù)字相加，所以一列數(shù)字加起來得到的

和最大為9+8+7+6，即30。由于I不能等于0，所以右列向左列的進位不能大于2。由于向左列的進位不能大于2，所以I作為和的首位數(shù)）不能等于3。于是I必定等于1或2。

如果I等于1，則右列數(shù)字之和必定是11或21，而左列數(shù)字之和相應(yīng)為10或9。于是，

B+D+F+H）+A+C+E+G）+I=10+10+1=22，

或者

B+D+F+H）+A+C+E+G）+I=21+9+1=31。

但是，從1到9到這十個數(shù)字之和是45，而這十個數(shù)字之和與上述兩個式子中九個數(shù)字之和的差都大于9。這種情況是不可能的。因此I必定等于2。

既然I等于2，那么右列數(shù)字之和必定是12或22，而左列數(shù)字之和相應(yīng)為21或20。于是，

B+D+F+H）+A+C+E+G）+I=12+21+2=35，

或者

B+D+F+H）+A+C+E+G）+I=22+20+2=45。

這里第一種選擇不成立，因為那十個數(shù)字之和與式子中九個數(shù)字之和的差大于9。因此缺失的數(shù)字必定是1。

至少存在一種這樣的加法式子，這可以證明如下：按慣例，兩位數(shù)的首位數(shù)字不能是0，所以0只能出現(xiàn)于右列。于是右列其他三個數(shù)字之和為22。這樣，右列的四個數(shù)字只有兩種可能：0、5、8、9左列數(shù)字相應(yīng)為3、4、6、7），或0、6、7、9左列數(shù)字相應(yīng)為3、4、5、8）。顯然，這樣的加法式子有很多。

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