中學趣味數學：書架

圖書館館長德雷克女士問她的三位助手，在某層書架上可以并排平放多少本書。她得到的回答是：

阿斯特女士：這層書架正好可以用2本圖書目錄、3本字典和3本百科全書放滿。

布賴斯女士：這層書架正好可以用4本圖書目錄、3本字典和2本百科全書放滿。

克蘭女士：這層書架正好可以用4本圖書目錄、4本字典和3本百科全書放滿。

1）只有兩位助手的回答是正確的。

2）如果用同一類圖書放，德雷克女士發(fā)現只有一類圖書能正好放滿這層書架。

3）要正好放滿這層書架，需要這類圖書15本。

4）所有的圖書目錄開本相同，所有的字典開本相同，所有的百科全書開本相同。

假設這三類圖書并排平放時相鄰兩本書的間距都可以忽略不計，那么，用哪類圖書可正好放滿這層書架？

提示：用代數式表示書架的寬度以及15本同類圖書并排平放時的總寬度。根據三位女士的回答，將導出包含書架寬度和每類圖書并排平放時的總寬度的三對方程；其中只有一對方程可解出取正值的各類圖書寬度。能夠正好放滿書架的那類圖書的寬度不能是其他兩類圖書中任何一類圖書寬度的倍數。）

答 案

運用4)，設：

c=一本圖書目錄的寬度，

d=一本字典的寬度，

e=一本百科全書的寬度，

x=書架的寬度。

于是，根據每位助手的回答，相應有：

A）阿斯特：2c＋3d＋3e＝x，

B）布賴斯：4c＋3d＋2e＝x，

C）克蘭：4c＋4d＋3e＝x。

從C）減去A），得：2c＋d＝0，從而d＝-2c，這不可能。

從C）減去B），得：d＋e＝0，從而d=-c，這不可能。

從B）減去A），得：2c－e＝0，從而e＝2c，這是可能。

由于用C）同A）和B）聯立得出的解都導致不可能的情況，所以克蘭女士的回答是錯誤的。于是，根據{1）只有兩位助手的回答是正確的。}方程A）和B）是正確的，e＝2c。

根據3），如果是15本百科全書能正好放滿這層書架，那么

30本圖書目錄也能正好放滿這層書架。因此，根據2)，百科全書不能正好放滿這層書架。

如果是15本字典能正好放滿這層書架，那么運用A）也可以運用B））以及e＝2c，可得：

2c+3d+3e=x，

e+3d+3e＝x，

3d+4e＝x，

3d+4e＝15d，

4e＝12d，

e＝3d。

根據{3）要正好放滿這層書架，需要這類圖書15本。}，如果是15本字典能正好放滿這層書架，那么5本百科全書也能正好放滿這層書架。因此，根據{2）如果用同一類圖書放，德雷克女士發(fā)現只有一類圖書能正好放滿這層書架。}，字典不能正好放滿這層書架。#p#分頁標題#e#

于是，只有圖書目錄能正好放滿這層書架。

運用A）也可以運用B)以及e＝2c，可得：

2c+3d+3e=x,

2c+3d+6c=x,

3d+8c=x,

3d+8c=15c,

3d=7c, .

既然15本圖書目錄能正好放滿這層書架，那么百科全書就不能正好放滿這層書架，因為根據e=2c，書架的寬度相當于 本百科全書的總寬度。字典也不能正好放滿這層書架，因為根據，書架的寬度相當于 本字典的總寬度。

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