中學趣味數(shù)學：立方體

上面是同一立方體的三個視圖。在這些視圖中，立方體的每一個可視面上都有一個圖形，一共有五種圖形：

稍加分析便可知道，這五種圖形中必定有一種會在立方體上出現(xiàn)兩次。實際上，有三種圖形，其中任何一種都有可能在立方體上出現(xiàn)兩次。

但是，這個立方體的主人如實地說：;在立方體上出現(xiàn)兩次的那個圖形不在這三個視圖中立方體的底面上。;這樣，只有一種圖形可以在立方體上出現(xiàn)兩次。

在這五種圖形中，在立方體上出現(xiàn)兩次的是哪種圖形？

注：如果你覺得難以同時看到立方體的六個面，你可以用紙制作一個立方體，或者照下圖畫出立方體的多面圖。在這種多面圖中，除了底面外，其他各面都可以同時看到。)

提示：任一種圖形，或是出現(xiàn)一次或是出現(xiàn)兩次。選定這樣一種圖形：當假設(shè)它只出現(xiàn)一次時，可立即推斷出其他四個面上的圖形；當假設(shè)它出現(xiàn)兩次時，可通過另一種圖形推斷出所有面上的圖形。）

答 案

先不考慮立方體主人的話，將看到，立方體各面的圖形安排有三種可能。其中的兩種將用主人的話加以排除。任何一種圖形或是出現(xiàn)一次或是出現(xiàn)兩次。選擇一種圖形進行推理。選擇哪一種圖形合適呢？由于與●出現(xiàn)在同一幅視圖中的包括所有其他四種圖形，○也是如此，因此，如果假定●或○只出現(xiàn)一次，則其他四個面上的圖形可以立即推導出來。

選擇●，如前所述，存在兩種可能：●或是出現(xiàn)一次或是出現(xiàn)兩次。

假設(shè)●只出現(xiàn)一次，則根據(jù)視圖2，可得： 于是，根據(jù)

視圖3，可得： 。最后，根據(jù)視圖1，可得：

#p#分頁標題#e# 圖1 圖2

假設(shè)●出現(xiàn)兩次，則其他每個圖形都只出現(xiàn)一次。于是，視圖1中的○和視圖2中○的是一回事。因此根據(jù)視圖1，可得： 。

于是，根據(jù)●出現(xiàn)兩次的假設(shè)，可得：

Ⅲ

。可驗證視圖3與這個假設(shè)相符。

在下表中，對上述三種可能，在每個視圖項下記錄了相應(yīng)的底面圖形，同時還記錄了相應(yīng)的出現(xiàn)兩次的圖形。

底面圖形 出現(xiàn)兩次的圖形 視圖1 視圖2 視圖3

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