中學(xué)趣味數(shù)學(xué)：兩枚還是三枚

有一種硬幣游戲，其規(guī)則是：

1）有一堆硬幣，共十二枚。

2）雙方輪流從中取走兩枚或三枚硬幣。

3）誰(shuí)取最后一枚硬幣誰(shuí)輸。

Ⅰ.阿曼德和比福德在玩這種游戲，阿曼德開局，比福德隨后。

Ⅱ.雙方總是盡可能采取能使自己獲勝的步驟；如果無(wú)法取勝，就盡可能采取能導(dǎo)致和局的步驟。

這兩人中是否必定會(huì)有一人贏？如果這樣，誰(shuí)會(huì)贏？

提示：首先判定當(dāng)只有一枚硬幣要你取的時(shí)候，你是處于穩(wěn)操勝券的地位，還是處于注定要輸，或者導(dǎo)致和局的地位；然后，判定當(dāng)只有兩枚硬幣要你取的時(shí)候，你是處于穩(wěn)操勝券的地位，還是處于注定要輸，或者導(dǎo)致和局的地位；如此進(jìn)行，直至判定有十二枚硬幣要你取的情況。）

答 案

根據(jù){Ⅱ.雙方總是盡可能采取能使自己獲勝的步驟；如果無(wú)法取勝，就盡可能采取能導(dǎo)致和局的步驟。}，如果有一方能夠取勝，那他一定要取勝。如果一方能夠逼和假定他不能取勝），那他一定要逼和。

根據(jù)2）和3）：

a）當(dāng)這堆硬幣中只有一枚硬幣要取的時(shí)候、顯然游戲只能以和局告終，因?yàn)檎l(shuí)也不能取。

b）當(dāng)這堆硬幣中有兩枚硬幣要取的時(shí)候，取者必輸。這是因?yàn)樗�必須取走這兩枚硬幣。

c）當(dāng)這堆硬幣中有三枚硬幣要取的時(shí)候，取者只能采取逼和的策略。這是因?yàn)槿绻�他一下子把三枚硬幣全都取走，那他就輸了；于是他只取走兩枚硬幣，這樣對(duì)方就不能取了。

d）當(dāng)這堆硬幣中有四枚硬幣要取的時(shí)候，取者可以取走兩枚硬幣從而獲勝，因?yàn)檫@樣就使對(duì)方陷入了只有兩枚硬幣要取的必?cái)【车亍Ｈ绻�他取走三枚硬幣游戲就以和局告終。

e)當(dāng)這堆硬幣中有五枚硬幣要取的時(shí)候，如果取者能夠留下一定枚數(shù)的硬幣從而使對(duì)方陷于必?cái)〉木车�，那他就贏了。因此，他取走了三枚硬幣，使對(duì)方陷入了只有兩枚硬幣要取的必?cái)【车亍?/p>

f）當(dāng)這堆硬幣中有六枚硬幣要取的時(shí)候，取者只能采取逼和的策略。他可以取走三枚硬幣，這就造成了有三枚硬幣要取的必和局面。如果他只取走兩枚硬幣，就把有四枚硬幣要取的必勝機(jī)會(huì)留給了對(duì)方。

按照這樣的推理，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這堆硬幣中有兩枚、七枚或十二枚硬幣要取的時(shí)候，取者注定要輸；當(dāng)這堆硬幣中有四枚、五枚、九枚或十枚硬幣要取的時(shí)候，取者穩(wěn)操勝券；這堆硬幣中有一枚、三枚、六枚、八枚或十一枚硬幣要取的時(shí)候，游戲必以和局告終。

下列三表總結(jié)了這三類情況分別是怎樣注定導(dǎo)致失敗、怎樣穩(wěn)步走向勝利和怎樣以和局告終的。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

根據(jù){1）有一堆硬幣，共十二枚。}，開始時(shí)有十二枚硬幣。由于十二枚硬幣是注定要輸?shù)木置�，誰(shuí)開局誰(shuí)必輸。根據(jù){Ⅰ.阿曼德和比福德在玩這種游戲，阿曼德開局，比福德隨后。}，是阿曼德開局，故阿曼德必輸。因此比福德必贏。

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