中學(xué)趣味數(shù)學(xué)：父與子

阿諾德、巴頓、克勞德和丹尼斯都是股票經(jīng)紀(jì)人，其中有一人是其余三人中某一人的父親。一天，他們?cè)谧C券交易所購買股票的情況是：

l）阿諾德購買的都是每股3美元的股票，巴頓購買的都是每股4美元的股票，克勞德購買的都是每股6美元的股票，丹尼斯購買的都是每股8美元的股票。

2）父親所購的股數(shù)最多，他花了72美元。

3）兒子所購的股數(shù)最少，他花了24美元。

4）這四個(gè)人買股票總共花了161美元。

在這四個(gè)人當(dāng)中，誰是那位父親？誰是那位兒子？

提示：根據(jù)1）和4）列出一個(gè)方程。依次假定某個(gè)人是那位父親或者是那位兒子，則這個(gè)人買了多少股？如果一個(gè)數(shù)是方程中五項(xiàng)中四項(xiàng)的因數(shù)，則它必定也是第五項(xiàng)的因數(shù)。)

答 案

設(shè)

a為阿諾德所購的股數(shù)，

b為巴頓所購的股數(shù)，

c為克勞德所購的股數(shù)，

d為丹尼斯所購的股數(shù)。

于是，根據(jù)1）和4），就這四人購買股票總共所花的錢可寫出方程：

3a+4b+6c+8d=161。

假定阿諾德是那位父親，則根據(jù)1）和2），他買了24股；假定巴頓是那位兒子，則根據(jù)1）和3），他買了6股。如此等等，共有十二種可能，列表于下。

注意：A）a、b、c、d都是正整數(shù)，B）如果一個(gè)整數(shù)能整除一個(gè)具有五個(gè)項(xiàng)的方程中的四項(xiàng)，則它也一定能整除其中的第五項(xiàng)。

根據(jù)上述的B），a不能等于24或8，因?yàn)?61不能被2整除。如果d等于3則b不能等于18，如果b等于6則d不能等于9，因?yàn)?61不能被3整除。因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅹ、和Ⅺ都被排除。

如果d＝9，c＝4．則3a+4b=65.這樣，a或b要大于9，從而與2）矛盾。如果c=12，b＝6則3a+8d=65。這樣，a或d要小于6,從而與3）矛盾。因此，Ⅷ和Ⅻ被排除。

如果b＝18，c＝4．則3a+8d=65。3a必須是奇數(shù)，因?yàn)?d是偶數(shù)而65是奇數(shù)偶數(shù)乘以任何整數(shù)總得偶數(shù)，偶數(shù)加上奇數(shù)總得奇數(shù)）。

于是，a必須是4和18之間的一個(gè)奇數(shù)奇數(shù)乘以奇數(shù)總得奇數(shù)）。這里唯一能使d取整數(shù)的是a＝11。這意味著d=4，但這與3）矛盾。因此，V被排除。

剩下唯一的可能是Ⅸ，因此，克勞德是那位父親，丹尼斯是那位兒子。

通過進(jìn)一步分析，可以得出a、b、c、d的兩組可能值。由c=12，d=3，得3a+4b＝65。根據(jù)與前面同樣的推理，a必須是3和12之間的一個(gè)奇數(shù)。這里能使b取整數(shù)的只有a=7和a=11。于是得到這樣兩組可能的值：

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