中學(xué)趣味數(shù)學(xué)：首位數(shù)問題

人們對(duì)生活中的許多現(xiàn)象由于習(xí)以為常而不求甚解�？墒�，如果仔細(xì)研究，這里面可能蘊(yùn)含著深?yuàn)W的道理。

天文學(xué)家在進(jìn)行天文計(jì)算時(shí)，經(jīng)常要使用對(duì)效表。本世紀(jì)韌，有一次天文學(xué)家西蒙?紐科姆在查對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)了這樣的現(xiàn)象：對(duì)數(shù)表開始的幾頁(yè)總要比后面幾頁(yè)磨損得厲害。這說明人們?cè)诓閷?duì)數(shù)表時(shí)，較多地是使用了以1為首的那幾頁(yè)。于是，紐科姆便產(chǎn)生這樣一個(gè)疑問：首位數(shù)是1的自然數(shù)在全體自然數(shù)中占有多大的比例？它是不是要比首位數(shù)是其它數(shù)字的自然效要多？人們后來就把這個(gè)問題稱為;首位數(shù)問題;。

大家可能會(huì)認(rèn)為這個(gè)問題是顯而易見的。因?yàn)槌?以外，共有九個(gè)數(shù)字：1，2，3，4，5，6，7，8，9，用其中任何一個(gè)數(shù)字開頭的自然數(shù)，在全體自然數(shù)中的分布是均勻的，機(jī)會(huì)應(yīng)該是均等的。這就是說，首位數(shù)為1的自然數(shù)應(yīng)該占全體自然數(shù)的1／9�？墒�，事實(shí)并不這么簡(jiǎn)單。1974年，現(xiàn)在是美國(guó)斯坦福大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)家的珀西?迪亞科尼斯當(dāng)時(shí)還在哈佛大學(xué)做研究生），研究了這個(gè)問題，所得到的結(jié)論出乎人們的意料：首位數(shù)是1的自然數(shù)約占全體自然數(shù)的1／3。準(zhǔn)確一點(diǎn)說，這個(gè)數(shù)值應(yīng)該是lg2約為0．30103。這是怎么一回事呢？

事實(shí)上，用不同數(shù)字做首位數(shù)字，這樣的自然數(shù)的分布并不是很均勻的，也不是很規(guī)則的。首位數(shù)是1的自然數(shù)的分布規(guī)律是；

1到9之間，這樣的數(shù)只有1個(gè)，它就是1，所以占1／9；

1到20之間，這樣的數(shù)有11個(gè)，它們是1，10，11;;，19，所以約占1／2，

1到30之間，這樣的數(shù)同樣有11個(gè)，約占1／3，

1到100之間．這樣的數(shù)仍然只有］1個(gè)，約占1／9，

l到200之間，這樣的數(shù)有111個(gè)，它們是1，10，11，;，19，100，，;，199，約占1／2。

注意到首位數(shù)是1的自然數(shù)在以上各區(qū)間的個(gè)數(shù)與這個(gè)區(qū)間內(nèi)所有自然數(shù)個(gè)數(shù)的比值，總是在1／2與1／9之間來回振蕩。于是，迪亞科尼斯經(jīng)過研究，終于運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的方法，得出這些比值的合理平均值，它就是上面所講到的lg2。．

迪亞科尼斯當(dāng)時(shí)并不知道這樣偶然的發(fā)現(xiàn)有什么實(shí)際意義。后來，美國(guó)西雅田波音航天局?jǐn)?shù)學(xué)家梅爾達(dá)德·沙沙哈尼在研究用計(jì)算機(jī)描繪自然景象的問題時(shí)，用上了這個(gè)結(jié)論。近年來，美國(guó)波音航天局將這一成果用于飛機(jī)模擬器，使飛行員在不離開地面的情況下接受訓(xùn)練，而能得到一種在空中飛行的實(shí)感。首位數(shù)問題的結(jié)論在科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮了重大的作用。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

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