中學(xué)趣味數(shù)學(xué)：6174猜想

1955年,卡普耶卡D.R.Kaprekar)研究了對四位數(shù)的一種變換:任給出四位數(shù)k ₀
,用它的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)m,再減去它的反序數(shù)revm),得出數(shù)k1=m-revm),然后,繼續(xù)對k ₁
重復(fù)上述變換,得數(shù)k ₂
.如此進(jìn)行下去,卡普耶卡發(fā)現(xiàn),無論k ₀
是多大的四位數(shù),

只要四個數(shù)字不全相同,最多進(jìn)行7次上述變換,就會出現(xiàn)四位數(shù)6174.例如:

k ₀
=5298, k ₁
=9852-2589=7263, k ₂
=7632-2367=5265, k ₃
=6552-2556=3996, k ₄
=9963-3699=6264, k ₅
=6642-2466=4176, k ₆
=7641-1467=6174.

后來,這個問題就流傳下來,人們稱這個問題為;6174問題;,上述變換稱為卡普耶卡變換,簡稱 K 變換.

一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四個不全相等的數(shù)字組成一個整數(shù)k0不一定是四位數(shù)),然后從k0開始不斷地作K變換,得出數(shù)k1,k2,k3,...,則必有某個mm=<7),使得km=6174.

更一般地,從0,1,2,...,9中任取n個不全相同的數(shù)字組成一個十進(jìn)制數(shù)k0不一定是n位數(shù)),然后,從k0開始不斷地做K變換,得出k1,k2,...,那么結(jié)果會是怎樣的呢?現(xiàn)在已經(jīng)知道的是:

n=2,只能形成一個循環(huán):27,45,09,81,63).例如取兩個數(shù)字7與3,連續(xù)不斷地做K變換,得出:36,27,45,09,81,27,...出現(xiàn)循環(huán).

n=3,只能形成一個循環(huán):495).

n=4,只能形成一個循環(huán):6174).

n=5,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán):53855,59994),62964,71973,83952,74943),63954,61974,82962,75933).

n=6,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán):642654,...),631764,...),549945,...).

n=7,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一個循環(huán):8719722,...).

n=8,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)四個循環(huán):63317664),97508421),83208762,...),86308632,...)

n=9,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán):864197532),975296421,...),965296431,...) #p#分頁標(biāo)題#e#

容易證明,對于任何自然數(shù)n>=2,連續(xù)做K變換必定要形成循環(huán).這是因為由n個數(shù)字組成的數(shù)只有有限個的緣故.但是對于n>=5,循環(huán)的個數(shù)以及循環(huán)的長度指每個循環(huán)中所包含數(shù)的個數(shù))尚不清楚,這也是國內(nèi)一些數(shù)學(xué)愛好者熱衷于研究的一個課題.

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