中學(xué)趣味數(shù)學(xué)：四片果樹林

斯隆先生有四片果樹林分別種了蘋果樹、檸檬樹、柑橘樹和桃樹。

1）果樹林的果樹都成行排列，每片果樹林中各行的果樹棵數(shù)相等。

2）蘋果林的行數(shù)最少，檸檬林比蘋果林多一行。柑橘林比檸檬林多一行，桃樹林又比柑橘林多一行。

3）有三片果樹林，每片果樹林四周邊界上的果樹與其內(nèi)部的果樹棵數(shù)相等。

在這四片果樹中，哪一片邊界上的果樹與其內(nèi)部的果樹棵數(shù)不相等？

提示：用代數(shù)式表示3）中提到的那三片果樹林邊界上果樹的棵數(shù)和內(nèi)部果樹的棵數(shù)。對于這三片果樹林的相鄰邊上果樹的棵數(shù)，只有四對可能的值。）

答 案

如圖所示：

根據(jù){1）果樹林的果樹都成行排列，每片果樹林中各行的果樹

棵數(shù)相等。}，設(shè){3）有三片果樹林，每片果樹林四周邊界上的果樹與其內(nèi)部的果樹棵數(shù)相等。}中提到的三片果樹林的兩條相鄰邊上果樹的棵數(shù)分別為x和y。于是邊界上果樹的棵數(shù)等于y+y）+x-2）+x-2）,即2y+2x-4；而內(nèi)部果樹的棵數(shù)等于x-2）×y-2）根據(jù){3）有三片果樹林，每片果樹林四周邊界上的果樹與其內(nèi)部的果樹棵數(shù)相等。}，

2y+2x-4=x-2）y-2）

解出x，

于是y必須大于4，而y-4必須整除4y-8。

經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)，得出以下四對數(shù)值：

這里是全部可能的數(shù)值，因?yàn)?y-8）/y-4）等于4+8/y-4），要使8/y-4）為正整數(shù)，y必須是5、6、8或者12。）

根據(jù){2）蘋果林的行數(shù)最少，檸檬林比蘋果林多一行。柑橘林比檸檬林多一行，桃樹林又比柑橘林多一行。}，一定是蘋果林有5行，檸檬林有6行，柑橘林有7行，桃樹林有8行。

由于有7行果樹的柑橘林不能滿足條件3），所以邊界上的果樹與內(nèi)部的果樹棵數(shù)不相等的果樹林是柑橘林。

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