中學趣味數學：棒球錦標

在棒球賽季的最后一周，貓咪棒球俱樂部聯合會的野貓隊、紅貓隊、美洲獅隊和家貓隊的得分仍并列第一。于是決定進行一系列的;季后賽;。在季后賽中贏的場數最多的一隊將奪得錦標。

l）在季后賽中，各隊以各隊基地所在城市的名稱表示）的得分情況如下：

2）各隊在季后賽中贏的場數各不相同。

3）季后賽中每場比賽的比分各不相同。

4）在各場比賽中兩隊得分差距最大的是3分。這個差距只出現過一次，在季后賽中輸的場數最多的那個隊輸給對方3分。

5）在季后賽的第一輪中有兩個隊的得分相同，在第二輪中有兩個隊的得分相同。各隊同時比賽一次稱一;輪;。）

6）在最后一輪中，野貓隊的得分為較大的奇數，紅貓隊的得分為較小的奇數，美洲獅隊的得分為較大的偶數，家貓隊的得分為較小的偶數。

四支棒球隊中的哪一支球隊----野貓隊、紅貓隊、美洲獅隊，還是家貓隊奪得了錦標？

提示：總共比賽了多少場？不考慮隊名，各隊蠃了多少場？對于奪得錦標的隊，可能是哪一種三場得分組合？對于輸的場數最多的隊，可能是哪一種三場得分組合？奪得錦標的隊參加的比賽，結果可能是什么樣的比分？輸的場數最多的隊參加的比賽，結果可能是什么樣的比分？）

答 案

根據1），總共比賽了六場。

根據{2）各隊在季后賽中贏的場數各不相同。}以及比賽了六場的事實，一個隊贏了三場，一個隊贏了兩場，一個隊贏了一場，一個隊一場都沒贏因此沒有平局）。塞克斯頓城隊和特里布爾城隊都不可能贏三場，因為它們都有一場比賽只得了1分。塞克斯頓城隊沒有三場全輸，因為有一場比賽它得了季后賽中的最高分7分）。因此，下列四種情況必有一種發(fā)生：

Ⅰ．凡爾迪尤城隊贏了三場，特里布爾城隊一場都沒贏。

Ⅱ．凡爾迪尤城隊贏了三場，阿爾斯特城隊一場都沒贏。

Ⅲ．阿爾斯特城隊贏了三場，特里布爾城隊一場都沒贏。

Ⅳ．阿爾斯特城隊贏了三場，凡爾迪尤城隊一場都沒贏。

除l）之外，下面的推理還用到了3）和4）。

如果發(fā)生的是Ⅰ，則特里布爾城隊對塞克斯頓城隊的比賽結果是6比7，于是特里布爾城隊得4分的那場比賽的對手不是凡爾迪尤城隊就是阿爾斯特城隊。如果是凡爾迪尤城隊，則對于特里布爾城隊余下的那場比賽來說，4）就得不到滿足。因此特里布爾城隊得4分的那場比賽的對手是阿爾斯特城隊，而且那場比賽阿爾斯特城隊得了6分。于是特里布爾城隊對凡爾迪尤城隊的比賽結果是1比4，從而凡爾迪尤城隊對塞克斯頓城隊是2比1，凡爾迪尤城隊對阿爾斯特城隊是5比3，塞克斯頓城隊對阿爾斯特城隊是3比2。這樣，三輪比賽的結果可表示如下S代表塞克斯頓城隊，T代表特里布爾城隊，U代表阿爾斯特城隊，V代表凡爾迪尤城隊）：#p#分頁標題#e#

這種情況與{5）在季后賽的第一輪中有兩個隊的得分相同，在第二輪中有兩個隊的得分相同。各隊同時比賽一次稱;輪;。）}矛盾，所以I被排除。

如果發(fā)生的是Ⅱ，則阿爾斯特城隊對塞克斯頓城隊是6比7。于是，根據{4）在各場比賽中兩隊得分差距最大的是3分。這個差距只出現過一次，在季后賽中輸的場數最多的那個隊輸給對方3分。}，要么阿爾斯特城隊對凡爾迪尤城隊是2比5，要么阿爾斯特城隊對特里布爾城隊是3比6。如果是前者，則阿爾斯特城隊對特里布爾城隊是3比4，從而凡爾迪尤城隊對塞克斯頓城隊是4比3，凡爾迪尤城隊對特里布爾城隊是2比1。但是這樣一來，將導致塞克斯頓城隊對特里布爾城隊是1比6，而這與4）矛盾。因此，應該是阿爾斯特城隊對特里布爾城隊是3比6。從而阿爾斯特城隊對凡爾迪尤城隊是2比4。接下來，要么凡爾迪尤城隊對特里布爾城隊是2比1，要么凡爾迪尤城隊對塞克斯頓城隊是2比1。如果是前者，則凡爾迪尤城隊對塞克斯頓城隊是5比3。但是這樣一來，將導致塞克斯頓城隊對特里布爾城隊是2比4，而這與4）矛盾。因此，應該是凡爾迪尤城隊對塞克斯頓城隊是2比1。從而凡爾迪尤城隊對特里布爾城隊是5比4，塞克斯頓城隊對特里布爾城隊是3比1。這樣，三輪比賽的結果可表示如下：

這種情況與5）矛盾，所以Ⅱ被排除。

如果發(fā)生的是Ⅲ，則特里布爾城隊對塞克斯頓城隊是6比7。于是，特里布爾城隊僅得1分的那場比賽的對手不是阿爾斯特城隊就是凡爾迪尤城隊。如果是阿爾斯特城隊，則對于特里布爾城隊余下的那場比賽來說，4）就得不到滿足。因此特里布爾城隊僅得1分的那場比賽的對手是凡爾迪尤城隊，而且那場比賽凡爾迪尤城隊得了4分。于是，特里布爾城隊對阿爾斯特城隊是4比6，阿爾斯特城隊對凡爾迪尤城隊是3比2，阿爾斯特城隊對塞克斯頓城隊是2比1，塞克斯頓城隊對凡爾迪尤城隊是3比5。這樣，三輪的比賽結果可表示如下：

這種情況與5）矛盾，所以Ⅲ被排除。

如果發(fā)生的是Ⅳ，則凡爾迪尤城隊對塞克斯頓城隊是4比7。于是，要么凡爾迪尤城隊對特里布爾城隊是5比6，要么是凡爾迪尤城隊對阿爾斯特城隊是5比6。同時，要么阿爾斯特城隊對塞克斯頓城隊是2比1，要么阿爾斯特城隊對特里布爾城隊是2比1。因此，共有四種可能。進行推理如下其中b）中又發(fā)生了兩種可能）：

a)如果

根據4），b）、c）和d）被排除。這樣，三輪的比賽結果可表示如下：

這是唯一余下的并且能夠滿足5）的情況。 #p#分頁標題#e#

根據5）和6），

是最后一輪。

根據{6）在最后一輪中，野貓隊的得分為較大的奇數，紅貓隊的得分為較小的奇數，美洲獅隊的得分為較大的偶數，家貓隊的得分為較小的偶數。}，可以把各支棒球隊與它們的基地所在城市對應起來：

野貓隊：凡爾迪尤城美洲獅隊：特里布爾城

紅貓隊：塞克斯頓城家貓隊：阿爾斯特城

由于Ⅳ實際發(fā)生的情況，所以阿爾斯特城隊贏了季后賽中所有的比賽。由于阿爾斯特城隊就是家貓隊，所以奪得錦標的是家貓隊。

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