中學(xué)趣味數(shù)學(xué)：安東尼的名次

安東尼、伯納德和查爾斯三人參加了幾項(xiàng)田徑比賽。

1）每項(xiàng)比賽只取前三名，第一名、第二名、第三名分別得3分、2分、l分。

2）并列同一名次者，都得到與該名次相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。

3a）把每人在撐竿跳、跳遠(yuǎn)和跳高比賽中的得分加起來(lái)得到一個(gè)個(gè)人總分，結(jié)果這三人的個(gè)人總分都一樣。

3b）把這三人在某項(xiàng)比賽中的得分加起來(lái)得到一個(gè)團(tuán)體分，結(jié)果三個(gè)項(xiàng)目的團(tuán)體分都一樣，而且這個(gè)團(tuán)體分與上述的個(gè)人總分相等。

4）在撐竿跳比賽中沒(méi)有出現(xiàn)得分相同的情況。

5）安東尼和查爾斯在跳遠(yuǎn)比賽中得分相同。

6）安東尼和伯納德在跳高比賽中得分相同。

7）在這三項(xiàng)比賽中，伯納德有一項(xiàng)沒(méi)有得分，查爾斯也有一項(xiàng)沒(méi)有得分。

在撐竿跳比賽中，安東尼得了第幾名？

提示：找出一個(gè)每一行的和與每一列的和都相等的3×3方陣，即可判定出安東尼在撐竿跳比賽中的名次。為此，用代數(shù)方法表示安東尼和查爾斯在跳遠(yuǎn)比賽中的得分，以及安東尼和伯納德在跳高比賽中的得分。）

答 案

這三人在三項(xiàng)比賽中的得分可以記入如下的3×3方陣：

根據(jù)3a）和3b），這個(gè)方陣中每一行的和與每一列的和必須都等于同一個(gè)數(shù)。根據(jù)2）和5），設(shè)安東尼和查爾斯在跳遠(yuǎn)比賽中的得分為b。根據(jù)2）和6），設(shè)安東尼和伯納德在跳高比賽的得分為h。根據(jù)l）和2），b可以是0、l、2或3，h也可以是0、l、2或3。因此，把b和h組合起來(lái)共有十六對(duì)可能的數(shù)值。

如果b＝h即兩者同時(shí)是0、1、2或3），則為了滿足3a）和3b），方陣變成：

這種情況與{4）在撐竿跳比賽中沒(méi)有出現(xiàn)得分相同的情況。}矛盾，因而是不可能的。

如果b＝0而h不等于0b＝0，h＝1；b＝0，h＝2；b＝0，h＝3），則為了滿足3b），第二列的和必須等于第三列的和。

為了滿足{3b）把這三人在某項(xiàng)比賽中的得分加起來(lái)得到一個(gè)團(tuán)體分，結(jié)果三個(gè)項(xiàng)目的團(tuán)體分都一樣，而且這個(gè)團(tuán)體分與上述的個(gè)人總分相等}，第二行的和必須等于每一列的和。但是第二行的和已經(jīng)大于所示的任何一列的和，因此這種情況是不可能的。

如果h＝0而b不等0b＝l，h＝0；b＝2，h＝0；b＝3，h＝0），則為了滿足3b），第三列的和必須等于第二列的和。

為了滿足3b），第三行的和必須等于每一列的和。但是第三行的和已經(jīng)大于所示的任何一列的和，因此這種情況是不可能的。

如果b＝l，h＝3，則為了滿足3b），第二列的和必須等于第三列的和。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

這種情況與{1）每項(xiàng)比賽只取前三名，第一名、第二名、第三名分別得3分、2分、l分。}矛盾，因?yàn)閍不能小于0，從而a＋4至少等于4。再者，第二行的和已經(jīng)大于所示的任何一列的和，這與3b）矛盾。）因此這種情況是不可能的。

如果b＝3，h＝l，則為了滿足3b），第三列的和必須等于第二列的和。

這種情況與前一種類似，所以是不可能的。

如果b＝2，h＝3，則為了滿足3b），第二列的和必須等于第三列的和。

為了滿足3b），第三行的和必須等于每一列的和。于是，查爾斯在撐竿跳比賽中必須得到4分，但這與l）矛盾。因此這種情況是不可能的。

如果b＝3，h＝2，則為了滿足3b），第二列的和必須等于第三列的和。

這種情況與前一種類似，所以是不可能的。

如果b＝1，h＝2，或者b＝2，h＝1它們是剩下的僅有可能），則為了滿足3a）和3b），方陣變成下列二者之一：

本題的要求是求出a＋l的值這是上述兩個(gè)方陣中唯一相同的記錄）：a不能大于0，否則與{7）在這三項(xiàng)比賽中，伯納德有一項(xiàng)沒(méi)有得分，查爾斯也有一項(xiàng)沒(méi)有得分。}矛盾；因此a必須等于0。于是a＋l＝l。

由于1分是第三名的得分，所以安東尼在撐竿跳比賽中得了第三名。

總結(jié)起來(lái)，得分的情況是下列二者之一：

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