中學(xué)趣味數(shù)學(xué)：黛安娜的妹妹

黛安娜和母親一起上街為她妹妹的生日聚會購買糖果和小禮品。黛安娜的母親專買小禮品，而黛安娜專買糖果。關(guān)于她買糖果的數(shù)量和所買小禮品的數(shù)量，以及她們所花的錢款，情況如下：

1)黛安娜身上只帶了十三枚硬幣，而且里面只有三種：1美分、5美分和25美分。她把它們?nèi)�部用來買了糖果。

2）她為奧爾西婭買的糖果每塊2美分，她為布萊思買的糖果每塊3美分，她為卡麗買的糖果每塊6美分。

3）她為這三個(gè)女孩買的糖果塊數(shù)各不相同，而且都不止一塊。

4）有兩種糖果她所付的錢款相同。

5）她母親買了一些小禮品，每件小禮品的單價(jià)都一樣。母親總共花了4.80美元。

6）黛安娜所買糖果的塊數(shù)同她母親所買紀(jì)念品的件數(shù)相等。

7）黛安娜給她妹妹買的糖果塊數(shù)最多。

三個(gè)女孩中，誰是黛安娜的妹妹？

提示：根據(jù)1)、2)、5)、6)可列出五個(gè)方程。根據(jù)4)所列出的三個(gè)方程，只有一個(gè)是正確的。在這些方程中各個(gè)量的和與積是奇數(shù)還是偶數(shù)，應(yīng)予考慮。）

答 案

設(shè)P=黛安娜所帶的1美分硬幣和枚數(shù)，

N=黛安娜所帶的5美分硬幣和枚數(shù)，

Q=黛安娜所帶的25美分硬幣和枚數(shù)，

T=黛安娜為買糖果所花的總錢數(shù)以美分為單位)，

a=為奧爾西婭所買的糖果的塊數(shù)，

b=為布萊思所買的糖果的塊數(shù)，

c=為卡麗所買的糖果的塊數(shù)，

d=母親所買的紀(jì)念品的單價(jià)以美分為單位），

F=母親所買的紀(jì)念品的件數(shù)。

以上各數(shù)都是正整數(shù)。

根據(jù)1）：la）P+N+Q＝13，

1b)P+5N+25Q＝T.

根據(jù)2）：2）2a+3b+6c＝T。

根據(jù)3）：3）a、b、c各不相同而且都大于1。

根據(jù)4）：4）或者2a＝3b，或者2a＝6c，或者3b＝6c。

根據(jù)5）：5）F×d＝480。

根據(jù)6）：6）a+b+C＝F。

根據(jù)7），問題可以重新表述為：

7）a、b、c中哪一個(gè)最大？

這里一共有六個(gè)方程和九個(gè)未知數(shù)，第四個(gè)方程是三個(gè)可能的方程中的一個(gè)。方程太多，無法僅用代數(shù)方法求解，因此除了各數(shù)都是正整數(shù)這一特點(diǎn)之外，必須再尋找其他特點(diǎn)。

知道：兩個(gè)奇數(shù)之和總是偶數(shù)，

兩個(gè)偶數(shù)之和總是偶數(shù)，

一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之和總是奇數(shù)。

而且知道：兩個(gè)奇數(shù)之積總是奇數(shù)，

兩個(gè)偶數(shù)之積總是偶數(shù)，

一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之積總是偶數(shù)。#p#分頁標(biāo)題#e#

根據(jù)這些規(guī)律，在方程1a）中，或是P、N、Q三者都是奇

數(shù)，或是這三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)是奇數(shù)。無論是這兩種情況中的哪一種，1b）中的T總是奇數(shù)。于是方程2）中的b是奇數(shù)。這樣，在方程4）中，2a不能等于3b，因?yàn)?a是偶數(shù)而3b是奇數(shù)。3b也不能等于6c，因?yàn)?c是偶數(shù)而3b是奇數(shù)。因此2a＝6c。至此，已經(jīng)知道c不是最大的數(shù)，因?yàn)閍必定大于c。）兩邊除以2，得a＝3c。代入方程6），得b+4c＝F。

由于b是奇數(shù)，所以在b+4c＝F中，F(xiàn)是奇數(shù)。在方程5）中，480是兩個(gè)數(shù)的乘積，其中一個(gè)是奇數(shù)F），另一個(gè)是偶數(shù)d）。在這個(gè)乘積中，F(xiàn)可能取的奇數(shù)值只有l(wèi)、3、5或15。F等于1或3是不可能的，因?yàn)樵赽+4c＝F中，b和c必須是正整數(shù)。根據(jù)3）b和c不能等于1），F(xiàn)也不等于5。因此，F(xiàn)必定等于15。

于是b＋4c＝15，而C不能大于3或者小于1。根據(jù)3），C不能等于1，也不能等于3否則b也等于3）。所以C必定等于2。從而b＝7。根據(jù)前面得出的a＝3c，所以a＝6。因此b是最大的數(shù)。這樣，根據(jù)7），布萊思是黛安娜的妹妹。

其他各值可以求解如下。因?yàn)镕＝15，所以根據(jù)5），d＝32。由于a＝6，b＝7，c＝2，所以根據(jù)2），T＝45。從1b）減去

la）得出4N+240＝32。兩邊除以4，得N+6Q＝8。Q不能大于1否則N將是負(fù)數(shù)），也不能小于1因?yàn)楦鶕?jù)l），黛安娜有25美分的硬幣），因此Q＝l。于是N＝2。于是根據(jù)la），P＝10。

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