巧構(gòu)圖妙解題

對(duì)于有些代數(shù)題采用常規(guī)方法處理往往頗費(fèi)周折，而利用;圖形;則會(huì)取得事半功倍的效果。請(qǐng)看：

例1. 已知a，b，c，d都是正數(shù)，并且 。

求證：

證明：作 和 ，使斜邊 ， ， 如圖1）。

圖1

由 得：

又

所以

又

所以

即

例2. A、B兩地相距64千米，甲騎車比乙騎車每小時(shí)少行4千米。如果甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，甲比乙先行40分鐘，兩人相遇時(shí)所行的路程正好相等。求甲、乙兩人騎車的速度各是多少？

解：如圖2所示，AB表示A、B兩地相距64千米，AC⊥AB

圖2

設(shè)AC＝x，表示甲的行駛速度，作BD⊥AB

設(shè)BD＝x＋4，表示乙的行駛速度，在AB上，取 ，表示甲在40分鐘所行的路程， ⊥AB，且 ＝x，連結(jié) 與AB交于E，表示甲、乙各在A、B處同時(shí)相向而行并相遇于E點(diǎn)，于是

由 ，得 #p#分頁標(biāo)題#e#

解得： 舍去）

于是

即甲、乙兩人騎車的速度分別為12千米/小時(shí)和16千米/小時(shí)。

例3. 甲對(duì)乙說：;當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲。;乙對(duì)甲說：;當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲。;請(qǐng)你算一算甲、乙現(xiàn)在的各自歲數(shù)。

圖3

解：如圖3，畫兩條直線分別表示甲、乙的年齡，設(shè)乙現(xiàn)在的年齡為x歲，從圖形中可以很直觀地看到。當(dāng)甲為x歲時(shí)，乙為4歲；當(dāng)乙為x歲時(shí)，甲為 歲；當(dāng)乙為 歲時(shí)，甲為61歲。

根據(jù)甲、乙的年齡差不變，可得

解得：

所以

答：甲現(xiàn)在42歲，乙現(xiàn)在23歲。

例4. 設(shè)a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：

證明： 時(shí)，顯然成立。由于a，b的地位相同，不妨假設(shè) ，這時(shí)要證的不等式轉(zhuǎn)化為 。

圖4

作△ABC如圖4），CA＝CB，CD為底邊AB上的高，E為CD上的一點(diǎn)，使得 ，由勾股定理得：

又

在△CBE中，

即

綜上，命題得證。

例5. 設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，滿足 ，且a為最大。求證： 。#p#分頁標(biāo)題#e#

證明：不妨取線段 ，在AC上取一點(diǎn)B，使 ，則 ，以BC為直徑作⊙O，如圖5。

圖5

設(shè) ，作割線或切線） 交⊙O于E，作OF⊥AD，F(xiàn)為垂足。

因?yàn)?

即

因?yàn)? ，所以

又

在 中，AO＞AF

所以即有

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