圓與圓位置關(guān)系中常見輔助線的作法

圓與圓位置關(guān)系是初中幾何的一個重要內(nèi)容，也是學習中的難點，本文介紹圓與圓的位置關(guān)系中常見的五種輔助線的作法。

1. 作相交兩圓的公共弦

利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。

例1. 如圖1，⊙O ₁
和⊙O ₂
相交于A、B兩點，過A、B分別作直線CD、EF，且CD//EF，與兩圓相交于C、D、E、F。求證：CE＝DF。

圖1

分析：CE和DF分別是⊙O ₁
和⊙O ₂
的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過連結(jié)AB，則可得圓內(nèi)接四邊形ABEC和ABFD，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，則易證明。

證明：連結(jié)AB

因為

又

所以

即CE//DF

又CD//EF

所以四邊形CEFD為平行四邊形

即CE＝DF

2. 作兩相交圓的連心線

利用過交點的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計算問題。

例2. ⊙O ₁
和⊙O ₂
相交于A、B兩點，兩圓的半徑分別為 和 ，公共弦長為12。求 的度數(shù)。

圖2

分析：公共弦AB可位于圓心O ₁
、O ₂
同側(cè)或異側(cè)，要求 的度數(shù)，可利用角的和或差來求解。

解：當AB位于O ₁
、O ₂
異側(cè)時，如圖2。

連結(jié)O ₁
、O ₂
，交AB于C，則 。分別在 和#p#分頁標題#e# 中，利用銳角三角函數(shù)可求得

故

當AB位于O ₁
、O ₂
同側(cè)時，如圖3

圖3

則

綜上可知 或

3. 兩圓相切，作過切點的公切線

利用弦切角定理溝通兩圓中角的關(guān)系

例3. 如圖4，⊙O ₁
和⊙O ₂
外切于點P，A是⊙O ₁
上的一點，直線AC切⊙O ₂
于C，交⊙O ₁
于B，直線AP交⊙O ₂
于D。求證PC平分 。

圖4

分析：要證PC平分 ，即證

而 的邊分布在兩個圓中，難以直接證明。

若過P作兩圓的公切線PT，與AC交于T

易知

由弦切角定理，得

又 是 的一個外角

所以

又 #p#分頁標題#e#

從而有

即PC平分

4. 兩圓相切，作連心線

利用連心線經(jīng)過切點的性質(zhì)，解決有關(guān)計算問題。

例4. 如圖5，⊙O ₁
與半徑為4的⊙O ₂
內(nèi)切于點A，⊙O ₁
經(jīng)過圓心O ₂
，作⊙O ₂
的直徑BC，交⊙O ₁
于點D，EF為過點A的公切線，若 ，求 的度數(shù)。

圖5

分析： 是弦切角，要求其度數(shù)，需將其轉(zhuǎn)化為圓周角或圓心角，因此連結(jié)O ₁
O ₂
、O ₁
A，則O ₁
O ₂
必過點A，且O ₂
A為⊙O ₁
的直徑，易知 。

連結(jié)DA，則

于是

又 為銳角

所以

從而有

5. 過小圓圓心作大圓半徑的垂線

有關(guān)公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。

例5. 如圖6，⊙O ₁
與⊙O ₂
外切于點O，兩外公切線PCD和PBA切⊙O ₁
、⊙O ₂
于點C、D、B、A，且其夾角為 ， ，求兩圓的半徑。#p#分頁標題#e#

圖6

分析：如圖6，連結(jié)O ₁
O ₂
、O ₁
A、O ₂
B，過點O ₂
作 ，構(gòu)造 ，下面很容易求出結(jié)果。

請同學們自己給出解答。

答案：兩圓的半徑分別為3和1）

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