用整體思想法解數(shù)學(xué)題

例1 分解因式

分析：若把兩個二次三項式
與
相乘，則將得到一個四次多項式，這時再分解因式就十分困難。但若把
或
）視為一個整體，即把
#p#分頁標(biāo)題#e#
看成一個新變元t，原式就變形為關(guān)于t的二次多項式，問題就容易解決了。

解：設(shè)
，則

原式

再將
代入上式

原式

說明：由上例可以看出，對某些多項式的因式分解，如果前一項的兩個因式中只是常數(shù)項不同，則可將它們中的相同部分看成一個整體，用換元法可以降次，簡化解題過程。#p#分頁標(biāo)題#e#

例2 解方程

解：設(shè)
，則原方程可變?yōu)?!--[if !vml]-->

解得
，

當(dāng)
時，解得
；當(dāng)
#p#分頁標(biāo)題#e#
時無解

經(jīng)檢驗，
是原方程的解。

說明：本題是把
看成一個整體，恰當(dāng)換元，才能化繁就簡。

例3 計算

解：設(shè)
，則

原式
#p#分頁標(biāo)題#e#

說明：這是一類規(guī)律探索型問題，看似復(fù)雜嚇人，若掌握了整體換元思想，并不難解。

例4 已知
和
成正比例其中m、n是常數(shù)）

1）求證：y是x的一次函數(shù)；

2）如果
時，
；
時，
#p#分頁標(biāo)題#e# ，求這個函數(shù)的解析式。

解：1）因
與
成正比例，故可設(shè)

整理可得

因
，
、
為常數(shù)，所以y是x的一次函數(shù)。#p#分頁標(biāo)題#e#

2）由題意可得方程組

解得
，
.

故所求的函數(shù)解析式為
。

說明：在解方程組時，單獨解出k、n、m是不可能的，也是不必要的。故將
看成一個整體求解，從而求得函數(shù)解析式。

例5 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元�，F(xiàn)在計劃購甲、乙、丙各1件，共需多少元？

分析：要求的未知數(shù)是三個，而題設(shè)條件中只有兩個等量關(guān)系，企圖把甲、乙、丙各1件的錢數(shù)一一求出來是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的錢數(shù)看成一個整體，問題就可能解決。

解：設(shè)購甲、乙、丙各1件分別需x元、y元、z元。

依題意，得
#p#分頁標(biāo)題#e#
，即

解關(guān)于
，
的二元一次方程組，可得
元）

答：購甲、乙、丙各1件共需1.05元。

說明：由于所感興趣的不是x、y、z的值，而是
這個整體的值，所以目標(biāo)明確，直奔主題，收到了事半功倍的效果。

練習(xí)：

1. 分解因式
。#p#分頁標(biāo)題#e#

2. 解方程
。

3. 設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為
k、a、b為常數(shù)），且
時，y=19，x=3時，y=20。求此函數(shù)的解析式。

4. 已知
，求代數(shù)式
的值。

5. 一個四位數(shù)，其首位上的數(shù)字為1，若把首位移作末位，則新的四位數(shù)是原數(shù)的4倍還多1995，試求原來的四位數(shù)。

6. 甲、乙兩人相距
100km
，兩人同時出發(fā)，相向而行，甲每小時走
6km
，乙每小時走
4km
；甲帶的一只狗，同甲一起出發(fā)，每小時走
10km#p#分頁標(biāo)題#e#
，碰到乙時它往甲方向走，碰到甲時它又往乙方向走，如此連續(xù)往返，到甲、乙兩人相遇時，這只狗一共走了多少千米？

7. 有大小兩種貨車，2輛大車和3輛小車一次可運貨15.5t，5輛大車和6輛小車一次可運貨35t，求3輛大車和5輛小車一次可運貨多少噸。

參考答案及提示：

1.
2.
，
。

3.
4. 5

5. 設(shè)原來的四位數(shù)去掉首位的后三位數(shù)為x，則原來的四位數(shù)可表示為
，新四位數(shù)可表示為
，由題意得#p#分頁標(biāo)題#e#
，解得x=999，故原來的四位數(shù)為1999。

6. 由出發(fā)時起，直到甲、乙相遇為止，小狗以每小時
10km
的速度跑了
，因此小狗一共走了
的路。

7. 設(shè)1輛大車與1輛小車一次可以各運xt、yt，則有

，得
，即有
#p#分頁標(biāo)題#e#

即3輛大車和5輛小車一次可運貨24.5t。 -

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