運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題

轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造思想是數(shù)學(xué)中兩大基本的數(shù)學(xué)思想，本文就是想利用轉(zhuǎn)化思想最重要也是最有效的思想之一��轉(zhuǎn)化為已能解決的問題來解競賽題。本文以競賽題目中經(jīng)常會出現(xiàn)一些關(guān)于素?cái)?shù)、帶余除法、完全平方數(shù)等問題為著手點(diǎn)，這些都是屬于初等數(shù)論范疇，而且這些知識幾乎在每年競賽題中都會出現(xiàn)，包括高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、冬令營、中國國家隊(duì)選拔考試，乃至在IMO考試中都是必考的內(nèi)容，所以大家應(yīng)該對此給予重視。對于數(shù)論的學(xué)習(xí)，不能操之過急，應(yīng)該首先把數(shù)論的基礎(chǔ)知識和性質(zhì)認(rèn)真的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)一遍，對競賽中出現(xiàn)相應(yīng)的題目進(jìn)行反思，這一點(diǎn)是很重要的。一同來體會一下最近幾年全國和各省市初中競賽題目中常見的問題，如何把問題轉(zhuǎn)化。

例1 設(shè)m是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)，求m的值。

分析 不妨先求出三個(gè)互不相等的合數(shù)之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)。

解：由于4+6+8=18，故下面就來證明m的最大整數(shù)是17。

當(dāng)m>18時(shí)，若 ，則m>9

即任意大于18的整數(shù)均可以表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和，故m=17

此題容易入手，逆向去考慮，采取極端性想法使問題得以解決。

例2 求滿足等式 的正整數(shù)x、y。

分析 此問題容易想到因式分解，再加之問題里有數(shù)2003，因?yàn)?003是質(zhì)數(shù)，這也是一個(gè)信息。

解：觀察式子特點(diǎn)不難得出

故所求的正整數(shù)對x,y）=1，2003），2003，1）

此問題考察的重點(diǎn)在于因式分解。

例3 如果對于不小于8的自然數(shù)n，當(dāng)3n+1是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，n+1都能表示成k個(gè)完全平方數(shù)的和，那么k的最小值是________。

分析 采取分析法，因?yàn)? 是一個(gè)完全平方數(shù)，所以設(shè) ，再去推導(dǎo)n和a的關(guān)系，使問題不斷得到解決。

解：由已知 是一個(gè)完全平方數(shù)，所以就設(shè)#p#分頁標(biāo)題#e# ，顯然 不是3的倍數(shù)，于是 ，從而

即 ，所以k的最小值是3

此方法是解決數(shù)論問題的一個(gè)常用的，也是基本的一個(gè)方法。

例4 設(shè) 為完全平方數(shù)，且N不超過2392。求滿足上述條件的一切正整數(shù)對x,y）共有________對。

分析 此題與例3有相似之處，但是要難一些。首先用到了性質(zhì)8，然后再結(jié)合不等式解決此問題。

解： ，且23為素?cái)?shù)，N為不超過2392的完全平方數(shù)

所以共有1，19），2，15），3，11），4，7），5，3）以及1，88），2，84），;，22，4）

故滿足條件的x,y）共有5+22=27對

此問題用到了數(shù)論里常用的方法��不等式法。把一個(gè)整數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，就會求出上下）界，從而限定出所求數(shù)的范圍，同時(shí)又是整數(shù)，故而使問題得以解決。

例5 已知方程 的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值。

分析 已知方程的根是整數(shù)，所以先把根求出來 ，所以根號下的數(shù)就應(yīng)該是完全平方數(shù)，故此問題得以解決。

解：由求根公式解得

因?yàn)榉匠痰母�都是整�?shù)

所以 是完全平方數(shù)

設(shè) ，則有

#p#分頁標(biāo)題#e#

所以，分別解得整數(shù)n的值為10，0，－18，－8

此題的難點(diǎn)在于知道 是完全平方數(shù)之后，如何分解它，實(shí)際上是在解一個(gè)不定方程問題。

例6 設(shè)四位數(shù) 是一個(gè)完全平方數(shù)，且 ，求這個(gè)四位數(shù)。

解：設(shè)

由于67是質(zhì)數(shù)，故 與 中至少有一個(gè)是67的倍數(shù)

此問題值得注意的是在設(shè)未知數(shù)的時(shí)候，采取整體代換，即把 看成整體，從而使問題簡化。

例7 一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。

分析 此類型問題在考試中出現(xiàn)多次，它的方法基本上是設(shè)出之后做差 ，然后運(yùn)用平方差公式分解，最后去解不定方程 。

解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得

但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是

解之，得n=45。代入2)得 。故所求的自然數(shù)是1981。

此問題是比較典型的，兩個(gè)式子三個(gè)未知數(shù)，感覺沒有辦法解決，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些問題中經(jīng)常把幾個(gè)式子做差或者做和，來發(fā)現(xiàn)其中的奧妙。

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，要以不變知識）去應(yīng)萬變問法），不斷去探索，有時(shí)候可以用特值去驗(yàn)證結(jié)論，這樣就會有一個(gè)大致的方向，再通過不斷的把問題轉(zhuǎn)化，從而解決數(shù)學(xué)問題。#p#分頁標(biāo)題#e#

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