怎樣求重疊部分的面積

例1. 如圖1，將邊長為1的正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30度，至正方形 ，求旋轉(zhuǎn)前后兩個正方形重疊部分的面積？

圖1

解：由正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30度，至正方形

設(shè) ，則 ，根據(jù)勾股定理，

變題：如圖2，將邊長為1的正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60度，至正方形 ，求旋轉(zhuǎn)前后兩個正方形重疊部分的面積？

圖2

分析：將原題中的30°變成60°后，原來的解題方法已經(jīng)不能再用了，那就要另外想辦法了。

仍然要連結(jié)AE， ，只要求出 ，問題就解決了。所以，本題的關(guān)鍵就是求出 的長。

解：連結(jié)AE，作EF∥AD

∵正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60度，至正方形

∵EF∥AD

∴∠1＝∠4

∴∠1＝∠2

∴EF＝AF

設(shè) ，則

根據(jù)勾股定理， #p#分頁標(biāo)題#e#

即

例2. 如圖3，正方形ABCD的面積為S，對角線相交于點O，點O是正方形 的一個頂點，如果兩個正方形的邊長相等，那么正方形 繞點O轉(zhuǎn)動時，

圖3

1）求兩個正方形重疊部分的面積。

2）如果正方形 的邊長大于正方形ABCD的邊長，則重疊部分的面積等于多少？與上述結(jié)論是否一致？

3）將正方形 改為 ，只要滿足什么條件，重疊部分的面積不變？

4）如果把正方形ABCD改為等邊△ABC，O為等邊△ABC的中心，以O(shè)為頂點的扇形 繞點O無論怎樣轉(zhuǎn)動，要使它與等邊△ABC的重疊部分的面積總保持不變，問扇形 應(yīng)滿足什么條件？并且說明你的理由。

1）解：∵ABCD為正方形

∴OA＝OB，AC⊥BD

∠1＝∠2＝45°

∠3＋∠BOE＝90°

∵ 是正方形

∴∠BOE＋∠4＝90°

∴∠3＝∠4

∴△AOE≌△BOF

∴兩個正方形重疊部分的面積

2）如果正方形 的邊長大于正方形ABCD的邊長，則重疊部分的面積仍然等于 與上述結(jié)論一致。因為求解的過程沒有任何改變。#p#分頁標(biāo)題#e#

3）將正方形 變?yōu)? ，只要滿足 ，并且 與正方形ABCD沒有交點，那么求重疊部分的面積的方法與上面的方法一樣，所以重疊部分的面積不改變。

4）如果把正方形ABCD改為等邊△ABC，O為等邊△ABC的中心，以O(shè)為頂點的扇形 繞點O無論怎樣轉(zhuǎn)動，要使它與等邊△ABC的重疊部分的面積總保持不變，扇形 應(yīng)滿足的條件是：

，且

類似上面的方法，容易證明△BOE≌△COF如圖4）。

所以重疊部分的面積 ，而且保持不變。

圖4

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