解直角三角形的方法點拔

解直角三角形與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和作圖有著密切的聯(lián)系，是在深入研究幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，計算直角三角形未知的邊長、角的大小和面積等。首先要明確解直角三角形的依據(jù)和思路：在直角三角形中，是用三條邊的比來表述銳角三角函數(shù)的定義。因此，銳角三角函數(shù)的定義本質(zhì)上揭示了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，它是解直角三角形的基礎(chǔ)。每個邊角關(guān)系式都可看作方程，解直角三角形的思路，實際上就是根據(jù)已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關(guān)系式，通過解方程來求解。

例1. 如圖1，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且 ，求AB的長。

圖1

思路1：所求AB是 的斜邊，但在 中只知一個銳角A等于 ，暫不可解。而在 中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解 入手。

解法1：在 中，因 ，且 ，AE＝1

故

在 中，由 ，得

在 中，由 ，得

思路2：觀察圖形可知，CD、DE分別是#p#分頁標(biāo)題#e# 和 斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。

解法2：同解法1得

在 中，由 ，得

在 中，由 ，得

點拔：本題是由幾個直角三角形組合而成的圖形，這樣的問題，可先解出已經(jīng)具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使得要求解的直角三角形最終可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，因而在解直角三角形時經(jīng)常要用到。

例2. 如圖2，在 中， ，AD是BC邊上的中線。

1）若 ， ，求AD的長。

2）若 ，求證：

圖2

分析：1）由AD是BC邊上的中線，只知DC一條邊長，僅此無法直接在 中求解AD。而在 中，由已知BC邊和 可以先求出AC，從而使 可解。#p#分頁標(biāo)題#e#

2） 和 分別為 和 中的銳角，且都以直角邊AC為對邊，抓住圖形的這個特征，根據(jù)銳角三角函數(shù)可以證明

解：1）在 中， ，

在 中，

2）證明：在 中，由 ， ，得

在 中，由 ，

得

故 ，又因BC＝2DC，故

點拔：在解直角三角形的問題中，經(jīng)常會遇到這樣的圖形，如圖2，它是含有兩個直角三角形的圖形。隨著D點在BC邊上位置的變化，會引起直角三角形中有關(guān)圖形數(shù)量相應(yīng)的變化，從而呈現(xiàn)出許多不同的解直角三角形問題。

例3. 如圖3，在#p#分頁標(biāo)題#e# 中， ，AD是 的平分線。

1）若 ，求

2）在1）的條件下，若BD＝4，求

圖3

分析：在1）中已知AD是 的平分線，又知AB、BD這兩條線段的比為 ，應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，就能把已知條件集中轉(zhuǎn)化到 中，先求出 即可求得 。

解：1）由AD是 的平分線，得 ，即

在 中，由 ，得

，

2）由 ，得

由 ，得#p#分頁標(biāo)題#e# 。又

點撥：解直角三角形時，要注意三角形中主要線段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關(guān)定理，往往能夠建立已知與未知的聯(lián)系，從而找到解決問題的突破口。

例4. 如圖4，在 中， ，D為BC上一點， ， ，BD＝1，求AB。

圖4

分析：已知的角告訴， 和 都是特殊的直角三角形，抓住這個特點設(shè)未知數(shù)，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，可以列出一元一次方程求解

解：在 中，設(shè) ，由 ，可知 ，得 ，

在 中，由 ，BD＝1， ，得

得

#p#分頁標(biāo)題#e#

點撥：解直角三角形時，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線段和差的等量關(guān)系布列方程，還要熟練地掌握特殊銳角的三角函數(shù)值，以使解答過程的表述簡便。

訓(xùn)練題：

如圖5，在 中，D、F分別在AC、BC上，且 ， ， ，求AC。

圖5

提示： 是直角三角形，AF為斜邊上的高線，CF是直角邊AC在斜邊上的射影，AC又為所求，已知的另外兩邊都在 中，且 ，即 是等腰三角形，因此，可以過D作 ，從而找到解題思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例線段的性質(zhì)，逐步等價轉(zhuǎn)化求得AC）

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