證明三角形全等的一般思路

一、當(dāng)已知兩個(gè)三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找?jiàn)A角相等SAS）或第三邊相等SSS）。

例1. 如圖1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一條直線上。

求證：AD＝BE

分析：要證AD＝BE

注意到AD是△ABD或△ACD的邊，BE是△DEB或△BCE的邊，只需證明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，顯然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC＝BC，CD＝CE，故只需證它們的夾角∠ACD＝∠BCE即可。

而∠ACD＝∠ACE＋60°，∠BCE＝∠ACE＋60°

故△ACD≌△BCESAS）

二、當(dāng)已知兩個(gè)三角形中有兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)相等ASA）或找任一等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等AAS）

例2. 如圖2，已知點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。

求證：AM＝CN

分析：要證AM＝CN

只要證△ABM≌△CDN，在這兩個(gè)三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得

∠A＝∠NCD，∠ABM＝∠D

可見(jiàn)有兩角對(duì)應(yīng)相等，故只需證其夾邊相等即可。

又由于AC＝BD，而

故AB＝CD

故△ABM≌△CDNASA）

三、當(dāng)已知兩個(gè)三角形中，有一邊和一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，可找另一角對(duì)應(yīng)相等AAS，ASA）或找?jiàn)A等角的另一邊對(duì)應(yīng)相等SAS）

例3. 如圖3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于點(diǎn)O。

求證：△CAB≌DBA

分析：要證△CAB≌△DBA

在這兩個(gè)三角形中，有一角對(duì)應(yīng)相等∠CAB＝∠DBA）

一邊對(duì)應(yīng)相等AC＝BD）

故可找?jiàn)A等角的邊AB、BA）對(duì)應(yīng)相等即可利用SAS）。

四、已知兩直角三角形中，當(dāng)有一邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，可找另一邊對(duì)應(yīng)相等或一銳角對(duì)應(yīng)相等

例4. 如圖4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延長(zhǎng)線于E，AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F。

求證：AE＝AF

分析：要證AE＝AF

只需證Rt△AEB≌Rt△AFC，在這兩個(gè)直角三角形中，已有AB＝AC

故只需證∠B＝∠C即可

而要證∠B＝∠C

需證△ABG≌△ACD，這顯然易證SAS）。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

五、當(dāng)已知圖形中無(wú)現(xiàn)存的全等三角形時(shí)，可通過(guò)添作輔助線構(gòu)成證題所需的三角形

例5. 如圖5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中線，AE⊥BD于F，交BC于E。

求證：∠ADB＝∠CDE

分析：由于結(jié)論中的兩個(gè)角分屬的兩個(gè)三角形不全等，故需作輔助線。注意到AE⊥BD，∠BAC＝90°，有∠1＝∠2，又AB＝AC。故可以∠2為一內(nèi)角，以AC為一直角邊構(gòu)造一個(gè)與△ABD全等的直角三角形，為此，過(guò)C作CG⊥AC交AE的延長(zhǎng)線于G，則△ABD≌△CAG，故∠ADB＝∠CGA。

對(duì)照結(jié)論需證∠CGA＝∠CDE

又要證△CGE≌△CDE，這可由

CG＝AD＝CD，∠ECG＝∠EBA＝∠ECD，CE＝CE而獲證。

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