巧旋轉(zhuǎn)妙解題

一個圖形圍繞某一點由一個位置轉(zhuǎn)到另一個位置的運動叫旋轉(zhuǎn)，這個點叫做旋轉(zhuǎn)中心。確定圖形旋轉(zhuǎn)的三個要素是：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。圖形旋轉(zhuǎn)的主要特征是：圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀與大小沒有發(fā)生變化。

在解題中運用圖形旋轉(zhuǎn)的主要目的是：把給定的圖形或其中的一部分）繞某一點旋轉(zhuǎn)后，圖形會發(fā)生新的組合，重組后的圖形能把題目中的條件相對集中，從而使問題得到解決。下面舉例說明運用圖形旋轉(zhuǎn)法解題的常用技巧。

一、三角形中的旋轉(zhuǎn)技巧

1. 當條件中出現(xiàn)三角形某邊的中點時，可將某圖形繞此中點旋轉(zhuǎn)180°。

例1. 如圖1，在△ABC中，D是AB的中點，E、F分別是BC、AC上的點。

求證：

圖1

分析：由于△ADF與△BDE不在一起，因此，只需將△ADF繞中點D旋轉(zhuǎn)180°得到△BDG，使其與△BDE組成一個四邊形BEDG，從而使問題得到解決。

證明：把△ADF繞中點D旋轉(zhuǎn)180°得到△BDG，其中B與A、G與F分別是對應點，則△BDG≌△ADF。于是

∵D是AB的中點

∴D也是GF的中點，故

∵

2. 當條件中的三角形是等腰三角形時，可將含有該等腰三角形一腰的圖形，繞著等腰三角形的頂角頂點進行旋轉(zhuǎn)，使得兩腰重合。

例2. 如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形內(nèi)一點，DC＞DB。

求證：∠ADB＞∠ADC

圖2

分析：由于已知兩邊的大小關(guān)系，與要證的兩角的大小關(guān)系沒太大聯(lián)系，因此需要將圖形進行適當旋轉(zhuǎn)，使圖形發(fā)生重組，然后再探究它們的內(nèi)在聯(lián)系。

證明：把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAC，得△ACE，連DE

則AE＝AD，EC＝BD

∠AED＝∠ADE，∠AEC＝∠ADB#p#分頁標題#e#

在△DEC中，∵EC＝BD

∴DC＞EC

∴∠DEC＞∠EDC

∴∠AEC＞∠ADC，故∠ADB＞∠ADC

3. 當條件中的三角形是等邊三角形時，可將含有該等邊三角形一邊的圖形，繞著等邊三角形的頂點進行旋轉(zhuǎn)，使其與另一邊重合。

例3. 如圖3，等邊△ABC中，O為其內(nèi)一點，且OA＝3，OB＝5，OC＝4，求∠AOC的度數(shù)。

圖3

分析：直接求∠AOC的度數(shù)顯然很困難。注意到條件中的三邊長恰是一組勾股數(shù)，因此考慮把這三邊集中到一個三角形內(nèi)，可以構(gòu)造出一個直角三角形，然后再求角度。只要把△ABO繞點A旋轉(zhuǎn)60°即可。

解：將△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACD，連結(jié)OD，則

AD＝AO＝3，DC＝OB＝5，∠CAD＝∠BAO

∴∠DAO＝∠CAB＝60°

△AOD為等邊三角形

∴∠AOD＝60°，OD＝3，在△ODC中，

∵OD＝3，OC＝4，DC＝5

∴∠COD＝90°

∴∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝150°

二、多邊形中的旋轉(zhuǎn)技巧

一般而言，當題目給出的圖形是多邊形時，常先把其分割成特殊）三角形，再應用三角形的旋轉(zhuǎn)技巧進行解決。

1. 當條件中的多邊形有兩相等的鄰邊時，常把含其中一邊的三角形進行旋轉(zhuǎn)，使其與另一等邊重合。

例4. 如圖4，五邊形ABCDE中，AB＝AE， ，∠BAE＝∠BCD＝120°，∠ABC＋∠AED＝180°，連結(jié)AD。

求證：AD平分∠CDE

圖4

分析：注意到 ，但BC、DE兩條線段不在同一直線上，這是本題的關(guān)鍵。由于AB＝AE，如果連結(jié)AC，把△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，可以使BC、DE移到一起，從而把問題解決。

證明：連結(jié)AC，把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△AEF，則

∠AEF＝∠ABC，EF＝BC，AF＝AC

∴D、E、F三點共線

∴△ADF≌△ADC

∴∠ADF＝∠ADC，即AD平分∠CDE

2. 當條件中的多邊形有直角時，常先構(gòu)造直角三角形，再把這個三角形進行旋轉(zhuǎn)。#p#分頁標題#e#

例5. 如圖5，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四邊形ABCD的面積為18，求DP的長。

圖5

分析：注意到△ADP為直角三角形

而AD＝CD，因此可把△ADP繞點D旋轉(zhuǎn)，把原圖形進行分割重組，使問題得到解決。

解：將△ADP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE，則△CDE≌△ADP

∴B、C、E三點共線

又∵DP＝DE

∠DPB＝∠ABC＝∠CED＝90°

∴四邊形PBED是正方形

故

3. 當條件圖形中出現(xiàn)正方形時，常把含有正方形一邊的直角三角形，繞正方形頂點旋轉(zhuǎn)90°，使該邊與另一邊重合�？梢钥闯墒乔皟煞N類型的特例）

例6. 如圖6，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，如果△APQ的周長為2，求∠PCQ。

圖6

分析：注意到正方形的特征：四邊相等，四個內(nèi)角為直角�？梢园选鱀CQ繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使圖形發(fā)生重組，利于應用△APQ的周長為2這個條件。

解：將△DCQ繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△BCE

則△DCQ≌△BCE，BE＝DQ，CE＝CQ，∠ECQ＝90°

∴△QCP≌△ECP

通過以上幾例的分析，相信大家對圖形的旋轉(zhuǎn)技巧有了一定的了解，希望同學們能在理解的基礎上熟練應用。當然關(guān)于圖形的旋轉(zhuǎn)技巧不止以上幾種，這需要大家在學習中去發(fā)現(xiàn)、去總結(jié)。

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