中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面幾何六十個(gè)定理

1、勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)

2、射影定理(歐幾里得定理)

3、三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且，各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交于一點(diǎn)

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個(gè)三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點(diǎn)。

7、三角形的三條高線交于一點(diǎn)

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足為L，則AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線(歐拉線)上。

10、(九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，

11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上

12、庫立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓)

圓周上有四點(diǎn)，過其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓。

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s為三角形周長的一半

14、(旁心)三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線和另外兩個(gè)頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)

15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時(shí)，連接AB中點(diǎn)M和對角線交點(diǎn)E的直線垂直于CD

18、阿波羅尼斯定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD

20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，

21、愛爾可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的中心構(gòu)成的三角形也是正三角形。

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有BPPC×CQQA×ARRB=1

24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

25、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q、∠C的平分線交邊AB于R，、∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線。

26、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線

27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點(diǎn)S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點(diǎn)P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.

28、塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中心M

29、塞瓦定理的逆定理：(略)

30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)

31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)。

32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)

33、西摩松定理的逆定理：(略)

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過線段PH的中心。

35、史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線。

36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏)。

37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)。

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)。

41、關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)。

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線

45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線

46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別為ED、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。(反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn))

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個(gè)垂足在同一條直線上。

48、九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)［連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)］九點(diǎn)共圓［通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓［nine-point circle］,或歐拉圓，費(fèi)爾巴哈圓。

49、一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)。

50、康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)。

51、康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。

52、康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。

53、康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

54、費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

55、莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。

56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對角線的中點(diǎn)，三條共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。

58、笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。

60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線共點(diǎn)。

60、巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長線的)交點(diǎn)共線

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