2018初中數(shù)學(xué)幾何證明題解題思路

　　一、強(qiáng)心理攻勢——闖畏難情緒關(guān)

 

　　初一、初二學(xué)生的年齡，一般都在十三、十四歲左右，從心理學(xué)角度來看，正是自覺思維向邏輯思維的過度階段。因此，幾何證明的入門，也就是學(xué)生邏輯思維的起步。這種思維方式學(xué)生才接觸，肯定會(huì)遇到一些困難。從自己多年的教學(xué)實(shí)踐來看，有的學(xué)生在這時(shí)“跌倒了”，就喪失了信心，以至于幾何越學(xué)越糟，最終成了幾何“門外漢”。但有的學(xué)生，在這時(shí)遇到了一些困難，失敗了，卻信心十足，不斷地去總結(jié)，認(rèn)真思考，最后越學(xué)越有興趣。2008學(xué)年當(dāng)我接班伊始，我就注意到那個(gè)坐在教室中間的小周：雖然她平時(shí)上課能安靜聽講，但是集中注意力時(shí)間很短，記憶能力也特別差，當(dāng)老師提問她時(shí)，總是羞澀地低下頭，默不作聲。她經(jīng)常偷工減料地寫作業(yè)，對自己的要求也不高，所以她數(shù)學(xué)總分只有30多分。我想自己一定要努力改變這一情況，共同尋找一條適合她的教學(xué)之路。

 

　　通過與她談心，讓她意識到幾何證明題是學(xué)習(xí)幾何的入門，是學(xué)生邏輯思維的起步。“你和同學(xué)們同時(shí)開始學(xué)習(xí)幾何，相信自己的能力，只要上課認(rèn)真聽講，在學(xué)習(xí)過程中不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，有不懂的，有疑問的及時(shí)問老師，相信自己的能力，同時(shí)也是證明自己不比別人差的一個(gè)最好的機(jī)會(huì)。”“不管在什么情況下，老師做到有問必答，也保證不會(huì)有任何批評的話。老師相信在你自己的不斷總結(jié)和嘗試下，在幾何證明這一塊上不會(huì)輸于任何一個(gè)學(xué)生。”我讓其明白初一、初二正是學(xué)習(xí)幾何證明的一個(gè)契機(jī)，只要能學(xué)好，代數(shù)部分也會(huì)有所提高，更何況她的前一階段的數(shù)學(xué)成績在個(gè)人的努力下還是有所提高，說明思維能力還是比較強(qiáng)的。通過談心她表示愿意克服困難，和大家一起學(xué)習(xí)幾何證明。當(dāng)她有進(jìn)步后，及時(shí)地給予表揚(yáng)。“你做得真好，繼續(xù)努力��！”“雖然有點(diǎn)小問題，但有進(jìn)步，加油!”在交上的作業(yè)中，總是給予點(diǎn)評，寫些鼓勵(lì)的語言。在不斷的鼓勵(lì)和幫助下，學(xué)習(xí)逐漸有了信心，學(xué)習(xí)成績在逐步提高。

 

　　學(xué)好幾何證明，起步要穩(wěn)，因此要求學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時(shí)要扎扎實(shí)實(shí)，一步一個(gè)腳印，在掌握好幾何基礎(chǔ)知識的同時(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

 

　　1、牢記幾何語言

 

　　幾何證明題，要使用幾何語言，這對于剛學(xué)幾何的學(xué)生來說，僅當(dāng)又學(xué)一門“外語”，并努力盡快地掌握這門“外語”的語言使用和表達(dá)能力。

 

　　首先，從幾何第一課起，就應(yīng)該特別注意幾何語言的規(guī)范性，要讓學(xué)生理解并掌握一些規(guī)范性的幾何語句。如：“延長線段AB到點(diǎn)C，使AC=2AB”,“過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D”，“過點(diǎn)A作l∥CD”等,每一句通過上課的教學(xué)，課后的輔導(dǎo)，手把手的作圖，表達(dá)幾何語言；表達(dá)幾何語言后作圖，反復(fù)多次，讓學(xué)生理解每一句話，看得懂題意。

 

　　其次，要注意對幾何語言的理解，幾何語言表達(dá)要確切。例如：鈍角的意義是“大于直角而小于平角的叫鈍角”，“大于直角或小于平角的角叫鈍角”，把“而”字說成了“或”字，這就是學(xué)習(xí)對幾何語言理解不佳，造成的表達(dá)不確切。“一字之差”意思各異，在輔導(dǎo)時(shí)，注重語言的準(zhǔn)確性，對其犯的錯(cuò)誤反復(fù)更正，做到學(xué)習(xí)之初要嚴(yán)謹(jǐn)。

 

　　2、規(guī)范推理格式

 

　　數(shù)學(xué)中推理證明的書寫格式有許多種，但最基本的是演繹法，也就是從已知條件出發(fā)，根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)概念、公理、定理等知識，順著推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步地推出求證的結(jié)論來。這種證題格式一般叫“演繹法”，課本上的定理證明，例題的證明，多數(shù)是采用這種格式。它的書寫形式表達(dá)常用語言是“因?yàn)?hellip;，所以…”特別是一開始學(xué)習(xí)幾何證明，首先要掌握好這種推理格式，做到規(guī)范化。如：在平行線性質(zhì)的教學(xué)中，開始以填空的形式填寫，

 

　　圖1：因?yàn)?ang;1=∠2（已知）

 

　　所以a∥b（）

 

　　其后把圖形復(fù)雜化

 

　　圖2：因?yàn)?ang;DAB=∠B（已知）

 

　　所以DE∥BC()

 

　　改變填空的形式

 

　　因?yàn)開___________（已知）

 

　　所以DE∥BC()

 

　　通過反復(fù)、不同形式的填寫，讓學(xué)生掌握基本性質(zhì)的表達(dá)格式，體會(huì)圖形與題目存在的依存關(guān)系。同時(shí)通過從定義、性質(zhì)、判定出發(fā)，由簡到難，逐步深入，讓學(xué)生提高對幾何證明的信心。

 

　　3、積累證明思路

 

　　“幾何證明難”最難莫過于沒有思路。怎樣積累證明思路呢？這主要靠聽講，看書時(shí)積極思考，不僅弄明白題目是“如何證明？”，還要進(jìn)一步追究一下，“證明題方法是如何想出來的？”。只有經(jīng)常這樣獨(dú)立思考，才會(huì)使自己的思路開闊靈活。隨著證明題難度的增加，還要教會(huì)學(xué)生用“兩頭湊”的方法，即在同一個(gè)證明題的分析過程中，分析法與綜合法并用，來縮短已知與未知之間的距離，在教學(xué)安排時(shí)，要給其足夠的時(shí)間思考，而且重復(fù)證明思路，提高對解題思路的理解和應(yīng)用能力。例如：在教授平行線和角平分線的關(guān)系時(shí),設(shè)置了不同的例題：

 

　　如圖3：已知BE平分∠ABC，∠DBE=∠DEB.

 

　　求證:DE∥BC

 

　　通過講解,要求學(xué)生仿寫一遍,總結(jié)思路,形成”角平分線和等量代換可以證明平行線"的思想，之后，又共同完成與上面例題相仿的變式練習(xí)：

 

　　如圖4：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AE=DE.

 

　　求證:DE∥BC.

 

　　經(jīng)過學(xué)生之間的互學(xué)互教進(jìn)一步掌握方法和解題格式,再通過變式訓(xùn)練達(dá)到本課的教學(xué)要求。

 

　　通過反復(fù)操練解題思路，在注重解題格式的要求下，每個(gè)學(xué)生在每一堂課上積累一個(gè)解題思想，學(xué)到一點(diǎn)新知識，都有所收獲增強(qiáng)對學(xué)習(xí)幾何的信心。

 

　　4、培養(yǎng)書寫證明過程中的邏輯思維能力

 

　　有的學(xué)生寫出的證明過程，條理清楚，邏輯性強(qiáng)，但有的學(xué)生寫出的證明過程邏輯混亂，沒有條理性，表達(dá)不清楚，這種情況，就是在平時(shí)的教學(xué)中，沒有注意培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

 

　　首先，一開始學(xué)習(xí)幾何，一定要在書寫證明過程中逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。強(qiáng)調(diào)由哪個(gè)條件才能得出什么結(jié)論，不要根據(jù)初三數(shù)學(xué)對幾何證明的要求，忽略中間的條件的描述。例如在三角形全等的幾何證明中，如圖，AC∥DE，AC=DE，BD=FC.

 

　　說明△ABC≌△EFD.

 

　　解：因?yàn)锳C∥DE（已知）

 

　　所以∠ACB=∠EDF(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)（第一段）

 

　　因?yàn)锽D=FC（已知）

 

　　所以BD+DC=FC+DC(等式性質(zhì))

 

　　即BC=FD（第二段）

 

　　在△ABC和△EFD中

 

　　AC=DE（已知）

 

　　∠ACB=∠EDF（已證）

 

　　BC=FD（已證）

 

　　所以△ABC≌△EFD（S.A.S）（第三段）

 

　　在描述中不要漏了條件的大括號，判定依據(jù)等，檢驗(yàn)在寫的過程中是否符合所寫的幾何命題的格式等注意思維的嚴(yán)密性。

 

　　其次，在書寫證明過程時(shí)，要逐步培養(yǎng)學(xué)生書寫證明過程中的整體邏輯性，即通過分析，這個(gè)證明過程可分幾大段來寫，每一段之間的邏輯關(guān)系是什么?哪些段應(yīng)先寫，哪些段應(yīng)后寫。例如在上面的幾何證明過程中，分成三大段，強(qiáng)調(diào)應(yīng)先寫第一段和第二段，第一段和第二段可以互換，第三段與第一段和第二段之間不能互換，提醒注意段與段之間的邏輯性，在搞清楚了這些之后，然后再分段書寫證明過程，前面已證明的結(jié)論，在后面的證明過程中直接應(yīng)用應(yīng)把條件在寫一次，體現(xiàn)其邏輯性。這樣寫出來的證明過程才條理清楚，邏輯性強(qiáng)。

 

　　三、善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn)——把好思維總結(jié)關(guān)

 

　　隨著幾何課程的進(jìn)展，幾何證明題的內(nèi)容和難度都會(huì)不斷地增加。因此，學(xué)習(xí)了一段之后，要回顧一下，看看已學(xué)了哪些知識點(diǎn)？自己在審題，推理、思路分析，證明過程等的書寫方面掌握了沒有，熟練的程度如何？如果在某些方面掌握得還不很好，就要在該方面多作一些練習(xí)，多想多問，使自己達(dá)到即熟練，又會(huì)“巧用”的程度。

 

　　例如在經(jīng)過一個(gè)星期的幾何證明學(xué)習(xí)后，每個(gè)星期出好一份與前一階段講課內(nèi)容一致的練習(xí)題，通過學(xué)生的答題了解學(xué)生的掌握情況，在試卷分析的時(shí)候著重對思維能力較強(qiáng)的，學(xué)生錯(cuò)的較多的問題進(jìn)行講解，同時(shí)通過小組之間的合作，互相說出解題思路和錯(cuò)誤的原因，不斷的地找出自己在解題過程中的問題，總結(jié)前一階段學(xué)習(xí)中的幾何證明推理和思維上存在的問題，使下一階段的學(xué)習(xí)更優(yōu)化。

 

　　總之，如果以上過程都一步一個(gè)腳印地走好了，那么你就會(huì)很輕松地進(jìn)入幾何證明學(xué)習(xí)的大門，在幾何證明的王國里遨游。我始終堅(jiān)持幫助學(xué)生闖過畏難心理，堅(jiān)信每一個(gè)孩子都是擁有巨大的潛能，永不放棄一個(gè)學(xué)生。我反復(fù)把握關(guān)鍵點(diǎn)，反復(fù)指導(dǎo)學(xué)生，讓他們體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，獲得成功的喜悅。我相信只要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展情況，他們自然而然會(huì)進(jìn)入“采菊東籬下，悠然見南山”的物我合一的解題佳境。