第十二講 平行四邊形

平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形――矩形、菱形、正方形的基礎，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關平行線的許多性質，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應用．

　　由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：

　　(1)平行四邊形對角相等；

　　(2)平行四邊形對邊相等；

　　(3)平行四邊形對角線互相平分．

　　除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

　　(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

　　(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

　　(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

　　(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

　　例1 如圖2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：EF與MN互相平分．

　　分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．

　　證 因為ABCD是平行四邊形，所以

ADBC，ABCD，∠B=∠D．

　　又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而

AE=CF．

　　所以

　　Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，

　　ME=NF． ①

　　又因為AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，

　　所以 MF=NF． ②

　　由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分．

　　例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．

　　分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉移”到EH位置．設法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．

　　證 作GH⊥BC于H，連接EH．因為BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而

△ABG≌△HBG(AAS)，

　　所以 AB=HB． ①

　　在△ABE及△HBE中，

∠ABE=∠CBE，BE=BE，

　　所以 △ABE≌△HBE(SAS)，

　　所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

　　下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．

　　因為AD∥GH，所以

　　∠AEG=∠BGH(內錯角相等)． ②

　　又∠AEG=∠GEH(因為∠BEA=∠BEH，等角的補角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

　　從而

EH∥AC(內錯角相等，兩直線平行)．

　　由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

　　說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)，從而構造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

　　人們在學習中，經過刻苦鉆研，形成有用的經驗，這對我們探索新的問題是十分有益的．

　　例3 如圖2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：∠EMC=3∠BEM．

　　分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內很難發(fā)現(xiàn)，因此，應設法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此， 只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開．

　　證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，

　　所以M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質知

∠F=∠MDC，

　　又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，

　　則

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

　　從而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

　　例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．

　　分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時，應設法產生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．

　　證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因為矩形對角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，

　　∠FCH=∠CAD． ①

　　又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，

　　所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

　　由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，

　　于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

　　例5 設正方形ABCD的邊CD的中點為E，F是CE的中點(圖2-36)．求證：

　

　　分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設法證明∠DAE=∠1或∠2．

　　證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

　　設正方形邊長為a，在Rt△ADF中，

　　

　　　

　　從而

　　

　　所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，

　　

　　從而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，

　　

　　例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．

　　分析 準確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．

　　證 因為DEBC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以

　

　　所以 BC=GC=CD．

　　因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以

　　又

　　所以 ∠HDG=∠GHD，

　　從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

練習十二

　　1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

　　2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．

　

　　3．如圖2-40所示．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求證：BE=CF．

　　4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．

　　5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分

　

　

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