第十四講 中位線及其應(yīng)用

　　例1 如圖2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面積．

　　分析 由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線．利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長．

　　解 由已知，E，F分別是AB，BD的中點(diǎn)，所以，EF是△ABD的一條中位線，所以

　　由條件AD+EF=12(厘米)得

EF=4(厘米)，

　　從而 AD=8(厘米)，

　　由于E，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EG是△ABC的一條中位線，所以

BC=2EG=2×6=12(厘米)，

　　顯然，AD是BC上的高，所以

　　例2 如圖 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

　　(1)求證：GH∥BC；

　　(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

　　分析 若延長AG，設(shè)延長線交BC于M．由角平分線的對(duì)稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點(diǎn)；同樣，延長AH交BC于N，H是AN的中點(diǎn)，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC，進(jìn)而，利用△ABC的三邊長可求出GH的長度．

　　(1)證 分別延長AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以

△ABG≌△MBG(ASA)．

　　從而，G是AM的中點(diǎn)．同理可證

△ACH≌△NCH(ASA)，

　　從而，H是AN的中點(diǎn)．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG∥MN，即

HG∥BC．

　　(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以

AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．

　　又BC=18厘米，所以

BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，

MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．

MN=18-4-9=5(厘米)，

　　說明 (1)在本題證明過程中，我們事實(shí)上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定理的逆定理：“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的垂線，則這條平分線也是對(duì)邊的中線，這個(gè)三角形是等腰三角形”．

　　(2)“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的中線，則這個(gè)三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對(duì)邊”．同學(xué)們不妨自己證明．

　　(3)從本題的證明過程中，我們得到啟發(fā)：若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分線”(如圖2-55所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖2-56所示)，其余條件不變，那么，結(jié)論GH∥BC仍然成立．同學(xué)們也不妨試證．

　　例3 如圖2-57所示．P是矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形BCPQ是平行四邊形，A′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA的中點(diǎn)．求證：A′C′=B′D′．

　　分析 由于A′，B′，C′，D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的中點(diǎn)，有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)知道A′B′C′D′是平行四邊形，A′C′與B′D′則是它的對(duì)角線，從而四邊形A′B′C′D′應(yīng)該是矩形．利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點(diǎn)．

　　證 連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，這四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位線．從而

A′B′∥AB，B′C′∥PQ，

C′D′∥AB，D′A′∥PQ，

　　所以，A′B′C′D′是平行四邊形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四邊形，所以

AB⊥BC，BC∥PQ．

AB⊥PQ，

　　所以 A′B′⊥B′C′，

　　所以四邊形A′B′C′D′是矩形，所以

　　A′C′=B′D′． ①

　　說明 在解題過程中，人們的經(jīng)驗(yàn)常可起到引發(fā)聯(lián)想、開拓思路、擴(kuò)大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點(diǎn)連線是平行四邊形”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)，對(duì)提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的．

　　例4 如圖2-58所示．在四邊形ABCD中，CD＞AB，E，F分別是AC，BD的中點(diǎn)．求證：

　　分析 在多邊形的不等關(guān)系中，容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不形中構(gòu)造中位線，為此，取AD中點(diǎn)．

　　證 取AD中點(diǎn)G，連接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位線(已知E是AC的中點(diǎn))，所以

　　同理，由F，G分別是BD和AD的中點(diǎn)，從而，FG是△ABD的中位線，所以

　　在△EFG中，

EF＞EG-FG． ③

　　例5 如圖2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點(diǎn)，AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．

　　分析 本題等價(jià)于證明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．

　　在E點(diǎn)(即直角三角形的直角頂點(diǎn))是梯形一腰中點(diǎn)的啟發(fā)下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問題獲解．

　　證 取梯形另一腰AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以

　　因?yàn)?/FONT>AD=AB+CD，所以