第十三講 梯形

　　例1 如圖2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜邊AB上的中點，D是AC的中點，DF∥EC交BC延長線于F．求證：四邊形EBFD是等腰梯形．

　　分析 因為E，D是三角形ABC邊AB，AC的中點，所以ED∥BF．此外，還要證明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF．

　　證 因為E，D是△ABC的邊AB，AC的中點，所以

ED∥BF．

　　又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四邊形，所以

　　EC=DF． ①

　　又E是Rt△ABC斜邊AB上的中點，所以

　　EC=EB． ②

EB=DF．

　　下面證明EB與DF不平行．

　　若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，這與EC與EB交于E矛盾，所以EBDF．

　　根據(jù)定義，EBFD是等腰梯形．

　　例2 如圖2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度數(shù)．

　　分析 由于△BCD是等腰三角形，若能確定頂點∠CBD的度數(shù)，則底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜邊BC(即BD)的長．又梯形的高，即Rt△ABC斜邊上的中線也可求出．通過添輔助線可構(gòu)造直角三角形，求出∠BCD的度數(shù)．

　　解 過D作DE⊥EC于E，則DE的長度即為等腰Rt△ABC斜邊上的高AF．設(shè)AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知

AF²+BF²=AB²，

BC²=AB²+AC²=2AB²=2a²，

　　由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，

　　從而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的對邊等于斜邊一半定理的逆定理)．在△CBD中，

　　例3 如圖2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分線交BC于N，交AB延長線于F，垂足為M．求證：AD=BF．

　　分析 MF是DC的垂直平分線，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，從而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，進而推知△BFN是等腰直角三角形，從而AD=BN=BF．

　　證 連接DN．因為N是線段DC的垂直平分線MF上的一點，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知

∠C=45°，

∠NDC=45°．

　　在△NDC中，

∠DNC=90°(=∠DNB)，

　　所以ABND是矩形，所以

AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．

　　△BNF是一個含有銳角45°的直角三角形，所以BN=BF．又

AD=BN，

　　所以 AD=BF．

　　例4 如圖2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中點．若AD=2，BC=8，求△ABE的面積．

　　分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB的長等于兩底長之和，它啟發(fā)我們利用梯形的中位線性質(zhì)(這個性質(zhì)在教材中是梯形的重要性質(zhì)，我們將在下一講中深入研究它，這里只引用它的結(jié)論)．取腰AB的中點F，(或BC)．過A引AG⊥BC于G，交EF于H，則AH，GH分別是△AEF與△BEF的高，所以

AG²=AB²-BG²=(8+2)²-(8-2)²=100-36=64，

　　所以AG=8．這樣S_△ABE(=S_△AEF+S_△BEF)可求．

　　解 取AB中點F，連接EF．由梯形中位線性質(zhì)知

EF∥AD(或BC)，

　　過A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行線等分線段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知

　　AG²=AB²-BG²

　　　=(AD+BC)²-(BC-AD)²

　　　=10²-6²=8²，

　　所以 AG=8，

　　從而 AH=GH=4，

　　S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF

　　例5 如圖2-47所示．四邊形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．

　　(1)求證：ADCF是等腰梯形；

　　(2)若△ADC的周長為16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四邊形ADCF的周長．

　　分析 欲證ADCF是等腰梯形．歸結(jié)為證明AD∥CF，AF=DC，不要忘了還需證明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，應(yīng)從全等三角形下手．計算等腰梯形的周長，顯然要注意利用AC-FC=3厘米的條件，才能將△ADC的周長過渡到梯形的周長．

　　解 (1)因為AB∥DF，所以∠1=∠3．結(jié)合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以

EA=ED．

　　又 AC=DF，

　　所以 EC=EF．

　　所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且頂角為對頂角，由三角形內(nèi)角和定理知∠3=∠4，從而AD∥CF．不難證明

△ACD≌△DFA(SAS)，

　　所以 AF=DC．

　　若AF∥DC，則ADCF是平行四邊形，則AD=CF與FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．

　　綜上所述，ADCF是等腰梯形．

　　(2)四邊形ADCF的周長=AD+DC+CF+AF． ①

　　△ADC的周長=AD+DC+AC=16(厘米)， ②

　　AF=3(厘米)， ③

　　FC=AC-3， ④

　　四邊形ADCF的周長=AD+DC+(AC-3)+AF

　　　　　　　　　　=(AD+DC+AC)-3+3

　　　　　　　　　　=16(厘米)．

　　例6 如圖2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分別是OA，BC，OD的中點．求證：△PQR是等邊三角形．

　　分析 首先從P，R分別是OA，OD中點知，欲證等邊三角形PQR的邊長應(yīng)等于等腰梯形腰長之半，為此，只需證明QR，QP等于腰長之半即可．注意到△OAB與△OCD均是等邊三角形，P，R分別是它們邊上的中點，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC與Rt△CRB中，PQ，RQ分別是它們斜邊BC(即等腰梯形的腰)的中線，因此，PQ=RQ=腰BC之半．問題獲解．

　　證 因為四邊形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性質(zhì)知，它的同一底上的兩個角及對角線均相等．進而推知，∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC．又已知，AC與BD成60°角，所以，△ODC與△OAB均為正三角形．連接BP，CR，則BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC與Rt△CRB中，PQ，RQ分別是它們的斜邊BC上的中線，所以

　　又RP是△OAD的中位線，所以

　　因為 AD=BC， ③

PQ=QR=RP，

　　即△PQR是正三角形．

　　說明 本題證明引人注目之處有二：

　　(1)充分利用特殊圖形中特殊點所帶來的性質(zhì)，如正三角形OAB邊OA上的中點P，可帶來BP⊥OA的性質(zhì)，進而又引出直角三角形斜邊中線PQ等于斜邊BC之半的性質(zhì)．

　　(2)等腰梯形的“等腰”就如一座橋梁“接通”了“兩岸”的髀使△PQR的三邊相等．　　

　　1．如圖2-49所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥CD．求∠A的度數(shù)．

　　2．如圖2-50所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，△ABE的周長=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周長．

　　3．如圖2-51所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分別為AB，CD的中點．求EF．

　　4．如圖2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中點，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面積．

　　5．已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分別是DC，AB的中點．求證：

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