第十一講 勾股定理與應(yīng)用

　　勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即

a²+b²=c²．

　　勾股定理逆定理 如果三角形三邊長a，b，c有下面關(guān)系：

a²+b²=c²

　　早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法．

　　關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的．下面的證法1是歐幾里得證法．

　　證法1 如圖2-16所示．在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c²，a²，b²．下面證明，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和．

　　過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE．因為

AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，

　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．而

　　所以 S_AEML=b²． ①

　　同理可證 S_BLMD=a²． ②

　　①+②得

S_ABDE=S_AEML+S_BLMD=b²+a²，

　　即 c²=a²+b²．

　　證法2 如圖2-17所示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB．由作圖易知

△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，

　　AG=GH=HB=AB=c，

　　∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，

　　因此，AGHB為邊長是c的正方形．顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即

　　化簡得 a²+b²=c²．

　　證法3 如圖2-18．在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長線于K，又作AF， DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：

△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．

　　設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面

　　S=S_ABDE+2S_△ABC， ①

　　S=S_ACGF+S_HGKD+2S_△ABC． ②

　　所以 c²=a²+b²．

　　定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍．

　　證 (1)設(shè)角C為銳角，如圖2-19所示．作AD⊥BC于D， 則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，

　　AB²=AD²+BD²， ①

　　在直角三角形ACD中，

　　AD²=AC²-CD²， ②

　　BD²=(BC-CD)²， ③

　　AB²=(AC²-CD²)+(BC-CD)²

　　　=AC²-CD²+BC²+CD²-2BC?CD

　　　=AC²+BC²-2BC?CD，

　　c²=a²+b²-2a?CD． ④

　　(2)設(shè)角C為鈍角，如圖2-20所示．過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影．在直角三角形ABD中，

　　AB²=AD²+BD²， ⑤

　　在直角三角形ACD中，

　　AD²=AC²-CD²， ⑥

　　BD²=(BC+CD)²， ⑦

　　AB²=(AC²-CD²)+(BC+CD)²

　　　=AC²-CD²+BC²+CD²+2BC?CD

　　　=AC²+BC²+2BC?CD，

　　c²=a²+b²+2a?cd． ⑧

　　特別地，當(dāng)∠C=90°時，CD=0，上述結(jié)論正是勾股定理的表述：

c²=a²+b²．

　　因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)．

　　由廣勾股定理我們可以自然地推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系對于角的影響．在△ABC中，

　　(1)若c²=a²+b²，則∠C=90°；

　　(2)若c²＜a²+b²，則∠C＜90°；

　　(3)若c²＞a²+b²，則∠C＞90°．

　　勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應(yīng)用．

　　例1 如圖2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB²=2FG²．

　　分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF²=2FG²，因而應(yīng)有AF=AB，這啟發(fā)我們?nèi)プC明△ABE≌△AFE．

　　證 因為AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以

Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，

　　所以 AF=AB． ①

　　在Rt△AGF中，因為∠FAG=45°，所以

AG=FG，

　　AF²=AG²+FG²=2FG²． ②

AB²=2FG²．

　　說明 事實上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)使我們意識到兩個直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個直角三角形中，可以利用勾股定理進(jìn)行證明了．

　　例2 如圖2-22所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB²+AC²=2(AM²+BM²)．

　　證 過A引AD⊥BC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi))．由廣勾股定理，在△ABM中，

　　AB²=AM²+BM²+2BM?MD． ①

　　在△ACM中，

　　AC²=AM²+MC²-2MC?MD． ②

　　①+②，并注意到MB=MC，所以

　　AB²+AC²=2(AM²+BM²)． ③

　　如果設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應(yīng)邊上的中線長分別為m_a，m_b，m_c，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長的公式．

　　推論 △ABC的中線長公式：

　　說明 三角形的中線將三角形分為兩個三角形，其中一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形(除等腰三角形外)．利用廣勾股定理恰好消去相反項，獲得中線公式．①′，②′，③′中的m_a，m_b，m_c分別表示a，b，c邊上的中線長．

　　例3 如圖2-23所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點(diǎn)連線平方的4倍．

　　分析 如圖2-23所示．對角線中點(diǎn)連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結(jié)論，不難證明本題．

　　證 設(shè)四邊形ABCD對角線AC，BD中點(diǎn)分別是Q，P．由例2，在△BDQ中，

　　2BQ²+2DQ²=4PQ²+BD²． ①

　　在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以

　　在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以

　　=4PQ²+BD²，

AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²+4PQ²．

　　說明 本題是例2的應(yīng)用．善于將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，是人們解決問題的一種基本方法，即化未知為已知的方法．下面，我們再看兩個例題，說明這種轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用．

　　例4 如圖2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點(diǎn)．求證：AD²+BE²=AB²+DE²．

　　分析 求證中所述的4條線段分別是4個直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手．

　　證 AD²=AC²+CD²，BE²=BC²+CE²，所以

　　AD²+BE²=(AC²+BC²)+(CD²+CE²)=AB²+DE²

　　例5 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍．

　　如圖2-25所示．設(shè)直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線．求證：

4(AM²+BN²)=5AB²．

　　分析 由于AM，BN，AB均可看作某個直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況――即M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，那么可直接利用例4的結(jié)論，使證明過程十分簡潔．

　　證 連接MN，利用例4的結(jié)論，我們有

AM²+BN²=AB²+MN²，

　　所以 4(AM²+BN²)=4AB²+4MN²． ①

　　由于M，N是BC，AC的中點(diǎn)，所以

　　所以 4MN²=AB²． ②

4(AM²+BN²)=5AB²．

　　說明 在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會知道中位線的基本性質(zhì)：“MN∥AB且MN=圖2-26所示．MN是△ABC的一條中位線，設(shè)△ABC的面積為S．由于M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，所以S_△ACM=S_△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S_△AMN=S_△BMN，從而AB必與MN平行．又S_△ABM=高相同，而S_△ABM=2S_△BMN，所以AB=2MN．

　　1．用下面各圖驗證勾股定理(虛線代表輔助線)：

　　(1)趙君卿圖(圖2-27)；

　　(2)項名達(dá)圖(2-28)；

　　(3)楊作枚圖(圖2-29)．

　　2．已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，求證：PA²+PC²=PB²+PD²．

　　(提示：應(yīng)分三種情形加以討論，P在矩形內(nèi)、P在矩形上、P在矩形外，均有這個結(jié)論．)

　　3．由△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)O向三邊BC，CA，AB分別作垂線，垂足分別是D，E，F．求證：

AF²+BD²+CE²=FB²+DC²+EA²．

　　4．如圖2-30所示．在四邊形ADBC中，對角線AB⊥CD．求證：AC²+BD²=AD²+BC²．它的逆定理是否成立？證明你的結(jié)論．

　　5．如圖2-31所示．從銳角三角形ABC的頂點(diǎn)B，C分別向?qū)�邊作垂線BE，CF．求證：

BC²=AB?BF+AC?CE．

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