第九講 一元二次方程

　　沒有相異的根；

x²-1=0，x²+x-2=0．

　　解這兩個方程，x²-1=0的根為x₁=1，x₂=-1；x²+x-2=0的根為x₁=1，x₂=-2．x=1為兩個方程的相同的根．

　　例11 若k為正整數(shù)，且關(guān)于x的方程

　　(k²-1)x²-6(3k-1)x+72=0

　　有兩個不相等的正整數(shù)根，求k的值．

　　解 原方程變形、因式分解為

　　(k+1)(k-1)x²-6(3k-1)x+72=0，

　　[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，

　　即

　　4，7．所以k=2，3使得x₁，x₂同時為正整數(shù)，但當(dāng)k=3時，x₁=x₂=3，與題目不符，所以，只有k=2為所求．

　　例12 關(guān)于x的一元二次方程x²-5x=m²-1有實根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，確定m的取值范圍．

　　解 不妨設(shè)方程的根α≥β，由求根公式得

｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，

　　 符合要求，所以m²≤1．

　　例13 設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，且二次三項式x²+2ax+b²與x²+2cx-b²有一次公因式，證明：△ABC一定是直角三角形．

　　證 因為題目中的兩個二次三項式有一次公因式，所以二次方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0必有公共根，設(shè)公共根為x₀ ，則

　　若x₀=0，代入①式得b=0，這與b為△ABC的邊不符，所以公共根x₀=-(a＋c)．把x₀=-(a＋c)代入①式得

(a+c)²-2a(a+c)+bg2=0，

a²=b²+c²

　　所以△ABC為直角三角形．

　　例14 有若干個大小相同的球，可將它們擺成正方形或正三角形，擺成正三角形時比擺成正方形時每邊多兩個球，求球的個數(shù)．

　　解 設(shè)小球擺成正三角形時，每邊有x個球，則擺成正方形時每邊有(x-2)個球．此時正三角形共有球

　　此時正方形共有(x-2)²個球，所以

　　即 x²-9x+8=0，

　　x₁=1，x₂=8．

　　因為x-2≥1，所以x₁=1不符合題意，舍去．所以x=8，此時共有球(x-2)²=36個．

　　1．解方程：

　　(2)20x²+253x+800=0；

　　(3)x²+｜2x-1｜-4=0．

　　2．解下列關(guān)于x的方程：

　　(1)abx²-(a⁴+b⁴)x+a³b³=0；

　　(2)(2x²-3x-2)a²+(1-x²)b²=ab(1+x²)．

　　3．若對任何實數(shù)a，關(guān)于x的方程

x²-2ax-a+2b=0

　　都有實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

　　4．若方程x²+ax+b=0和x²+bx+a=0有一個公共根，求(a+b)²000的值．

　　5．若a，b，c為△ABC的三邊，且關(guān)于x的方程

　　4x²+4(a²+b²+c²)x+3(a²b²+b²c²+c²a²)=0有兩個相等的實數(shù)根，試證△ABC是等邊三角形．

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